Докажите, что середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами параллелограмма

Это утверждение известно в геометрии как теорема Вариньона. Ниже приведено подробное доказательство с использованием свойств средней линии треугольника. Формулировка Пусть $ABCD$ — произвольный четырехугольник. Точки $K,L,M,N$ — середины его сторон $AB,BC,CD$ и $DA$ соответственно. Требуется доказать, что четырехугольник $KLMN$ является параллелограммом. Доказательство Для доказательства проведем диагональ $AC$ исходного четырехугольника.

1. Рассмотрим треугольник $ABC$:
   • Точка $K$ — середина стороны $AB$. Точка $L$ — середина стороны $BC$. Следовательно, отрезок $KL$ является средней линией треугольника $ABC$. По свойству средней линии: $KL\parallel AC$ и $KL=\frac{1}{2}AC$ .
2. Рассмотрим треугольник $ADC$:
   • Точка $N$ — середина стороны $AD$. Точка $M$ — середина стороны $CD$. Следовательно, отрезок $NM$ является средней линией треугольника $ADC$. По свойству средней линии: $NM\parallel AC$ и $NM=\frac{1}{2}AC$ .
3. Сопоставим полученные результаты:
   • Так как и $KL$, и $NM$ параллельны одной и той же прямой $AC$, то по свойству параллельности прямых: $KL\parallel NM$. Так как длины обоих отрезков равны половине длины диагонали $AC$ ( $KL=\frac{1}{2}AC$ и $NM=\frac{1}{2}AC$ ), то их длины равны между собой: $KL=NM$.

Вывод Согласно признаку параллелограмма, если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то такой четырехугольник является параллелограммом. В четырехугольнике $KLMN$ стороны $KL$ и $NM$ параллельны и равны, следовательно, $KLMN$ — параллелограмм. Аналогичное рассуждение можно провести, проведя вторую диагональ $BD$. Это покажет, что стороны $KN$ и $LM$ также параллельны друг другу и равны половине диагонали $BD$. Я могу также рассчитать площадь этого параллелограмма относительно площади исходного четырехугольника или доказать его свойства для частных случаев (например, когда исходный четырехугольник — ромб или прямоугольник). Хотите рассмотреть эти дополнения?