Что такое внешний угол выпуклого многоугольника

Внешний угол выпуклого многоугольника — это угол, который образуется между одной из сторон многоугольника и продолжением соседней с ней стороны. Ниже приведено подробное описание его свойств и особенностей. Определение и построение Чтобы построить внешний угол при определенной вершине, необходимо продлить одну из сторон, выходящих из этой вершины, за пределы многоугольника. Угол, лежащий между этим продолжением и второй стороной, выходящей из той же вершины, и будет называться внешним.

• При каждой вершине выпуклого многоугольника можно построить два внешних угла (продлив либо одну, либо другую сторону).
• Эти два угла являются вертикальными, а значит, они равны между собой. Поэтому при расчетах обычно говорят об «одном» внешнем угле при данной вершине.

Основные геометрические свойства

1. Связь с внутренним углом:
   Внешний угол и соответствующий ему внутренний угол являются смежными. Это означает, что их сумма всегда равна 180°.
   ${\alpha }_{внутр}+{\beta }_{внеш}={180}^{\circ }$ Сумма внешних углов:
   Для любого выпуклого многоугольника (независимо от количества его сторон) сумма внешних углов, взятых по одному при каждой вершине, всегда равна 360°.
   Это фундаментальное свойство объясняется тем, что при полном обходе многоугольника по периметру направление движения совершает один полный оборот. Зависимость от количества сторон ( $n$):
   В правильном выпуклом многоугольнике все внешние углы равны между собой. Величину одного такого угла можно вычислить по формуле:
   $\beta =\frac{{360}^{\circ }}{n}$ где $n$ — количество вершин (сторон).

Сравнение внутреннего и внешнего углов

Важное замечание Определение внешнего угла как дополнения до 180° применимо именно к выпуклым многоугольникам. В невыпуклых (вогнутых) многоугольниках внешний угол может принимать значения более 180°, что требует иного математического подхода (ориентированных углов). Если вам необходимо, я могу составить таблицу с расчетами внешних углов для конкретных фигур (треугольника, квадрата, шестиугольника) или вывести формулу для нахождения количества сторон многоугольника через его внешний угол.