|-х^2-х|>=4х-2 (алгебра)

Чтобы решить неравенство $|-x^2-x|\ge 4x-2$, воспользуемся свойствами модуля и методом интервалов. Сначала упростим выражение под модулем: $|-x^2-x|=|-(x^2+x\left)\right|$. Так как $|-a|=\left|a\right|$, неравенство принимает вид: $|x^2+x|\ge 4x-2$ 1. Анализ по определению модуля Неравенство вида $\left|f\right(x\left)\right|\ge g\left(x\right)$ равносильно совокупности двух систем или просто объединению двух условий:

1. $x^2+x\ge 4x-2$ $x^2+x\le -(4x-2)$

Решим каждое из них по отдельности. 2. Решение первого неравенства $x^2+x\ge 4x-2$ Переносим все члены в левую часть: $x^2-3x+2\ge 0$ Находим корни уравнения $x^2-3x+2=0$ через дискриминант или по теореме Виета:

• $D=(-3{)}^2-4\cdot 1\cdot 2=9-8=1$ $x_1=\frac{3+1}{2}=2$ $x_2=\frac{3-1}{2}=1$

Парабола ветвями вверх, следовательно, решение неравенства: $x\in (-\infty ;1]\cup [2;+\infty )$ 3. Решение второго неравенства $x^2+x\le -4x+2$ Переносим все члены в левую часть: $x^2+5x-2\le 0$ Находим корни уравнения $x^2+5x-2=0$:

• $D=5^2-4\cdot 1\cdot \left(-2\right)=25+8=33$ $x_3=\frac{-5-\sqrt{33}}{2}$ $x_4=\frac{-5+\sqrt{33}}{2}$

Приблизительные значения корней: $x_3\approx -5.37$, $x_4\approx 0.37$. Так как коэффициент при $x^2$ положителен, решением неравенства (отрицательная область) будет промежуток между корнями: $x\in [\frac{-5-\sqrt{33}}{2};\frac{-5+\sqrt{33}}{2}]$ 4. Объединение результатов Нам необходимо объединить полученные промежутки:

1. $(-\infty ;1]\cup [2;+\infty )$ $[\frac{-5-\sqrt{33}}{2};\frac{-5+\sqrt{33}}{2}]$

Сравним границы:

• $\frac{-5+\sqrt{33}}{2}$ меньше $1$, так как $\sqrt{33}$ чуть больше $5.7$, значит всё выражение $\approx 0.37$. Следовательно, промежуток $[\frac{-5-\sqrt{33}}{2};\frac{-5+\sqrt{33}}{2}]$ частично поглощается первым интервалом, расширяя его влево.

Объединение выглядит так: $(-\infty ;1]\cup [2;+\infty )$ (так как второй интервал полностью входит в луч $(-\infty ;1]$). Проверка условия $4x-2<0$: Если правая часть $4x-2$ отрицательна (при $x<0.5$), то модуль всегда больше отрицательного числа. Это условие уже автоматически учтено в объединении интервалов. Итоговый ответ: $x\in (-\infty ;1]\cup [2;+\infty )$ Я могу составить аналогичное задание для закрепления материала или разобрать графический метод решения этого неравенства. Хотите продолжить?