Докажите, что если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся аксиомами стереометрии и свойствами параллельных прямых. Условие Дано:

• Две параллельные прямые $a$ и $b$ ( $a\parallel b$). Прямая $a$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $M$ ( $a\cap \alpha =M$).

Доказать:

• Прямая $b$ также пересекает плоскость $\alpha$.

Доказательство 1. Определение плоскости через параллельные прямые По определению параллельных прямых, через две параллельные прямые $a$ и $b$ можно провести плоскость, и притом только одну. Обозначим эту плоскость как $\beta$. 2. Нахождение линии пересечения плоскостей По условию, прямая $a$ лежит в плоскости $\beta$ и пересекает плоскость $\alpha$ в точке $M$. Следовательно, точка $M$ принадлежит обеим плоскостям ( $\alpha$ и $\beta$). Если две плоскости имеют общую точку, то по аксиоме они пересекаются по прямой. Обозначим линию пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$ как прямую $c$. 3. Взаимоотношение прямых в плоскости $\beta$ Рассмотрим плоскость $\beta$. В ней лежат три прямые: $a$, $b$ и $c$.

• Прямая $a$ пересекает прямую $c$ в точке $M$ (так как $M$ лежит и на $a$, и на линии пересечения плоскостей $c$). По условию $a\parallel b$.

Согласно свойству параллельных прямых на плоскости: если на плоскости прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и вторую. Следовательно, прямая $c$ обязательно пересечет прямую $b$ в некоторой точке $N$. 4. Завершение доказательства Так как точка $N$ лежит на прямой $c$, а прямая $c$ целиком принадлежит плоскости $\alpha$, то точка $N$ принадлежит плоскости $\alpha$. Таким образом, прямая $b$ имеет с плоскостью $\alpha$ общую точку $N$. Поскольку прямая $b$ не может лежать в плоскости $\alpha$ (иначе прямая $a$, параллельная ей, тоже лежала бы в $\alpha$ или была бы ей параллельна, что противоречит условию), точка $N$ является единственной точкой пересечения. Вывод: Прямая $b$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $N$. Резюме Доказательство строится на том, что параллельные прямые образуют вспомогательную плоскость, которая пересекается с данной плоскостью по прямой. В этой вспомогательной плоскости срабатывает планиметрический закон: прямая, пересекающая одну из параллельных прямых, неизбежно пересечет и вторую. Я могу помочь с доказательством других теорем стереометрии или разобрать задачи на взаимное расположение прямых и плоскостей. Хотите рассмотреть признак параллельности прямой и плоскости?