Как решить тройную систему уравнений xy+x+y=1 yz+y+z=5 xz+x+z=2

Для решения данной системы уравнений наиболее эффективным методом является преобразование каждого уравнения таким образом, чтобы левую часть можно было разложить на множители. 1. Преобразование системы Заметим, что выражение вида $xy+x+y$ почти совпадает с разложением $(x+1)(y+1)=xy+x+y+1$. Добавим единицу к обеим частям каждого уравнения:

1. $xy+x+y+1=1+1$ $yz+y+z+1=5+1$ $xz+x+z+1=2+1$

Теперь систему можно переписать в виде произведения скобок:

1. $(x+1)(y+1)=2$ $(y+1)(z+1)=6$ $(x+1)(z+1)=3$

2. Нахождение произведения всех членов Для удобства введем новые переменные: $a=x+1$ $b=y+1$ $c=z+1$ Система принимает вид:

1. $ab=2$ $bc=6$ $ac=3$

Перемножим все три уравнения между собой: $(abc{)}^2=2\cdot 6\cdot 3$ $(abc{)}^2=36$ Отсюда следует два возможных значения для произведения $abc$:

• Случай 1: $abc=6$ Случай 2: $abc=-6$

3. Нахождение значений x, y, z Случай 1: $abc=6$ Используя значения парных произведений, находим каждую переменную:

• $c=\frac{abc}{ab}=\frac{6}{2}=3⟹z+1=3⟹\mathbf{z}\mathbf{=}\mathbf{2}$ $a=\frac{abc}{bc}=\frac{6}{6}=1⟹x+1=1⟹\mathbf{x}\mathbf{=}\mathbf{0}$ $b=\frac{abc}{ac}=\frac{6}{3}=2⟹y+1=2⟹\mathbf{y}\mathbf{=}\mathbf{1}$

Случай 2: $abc=-6$

• $c=\frac{abc}{ab}=\frac{-6}{2}=-3⟹z+1=-3⟹\mathbf{z}\mathbf{=}-4$ $a=\frac{abc}{bc}=\frac{-6}{6}=-1⟹x+1=-1⟹\mathbf{x}\mathbf{=}-2$ $b=\frac{abc}{ac}=\frac{-6}{3}=-2⟹y+1=-2⟹\mathbf{y}\mathbf{=}-3$

Ответ Система имеет два решения $(x,y,z)$:

1. (0, 1, 2)
2. (-2, -3, -4)

Я могу также проверить эти решения подстановкой в исходные уравнения или решить аналогичную систему с другими коэффициентами.