F(x)=x^2(2x+x^3) чётная или нечётная функция

Для определения четности или нечетности функции $F\left(x\right)=x^2(2x+x^3)$, необходимо проверить выполнение условий симметрии:

• Четная функция: $F(-x)=F\left(x\right)$ Нечетная функция: $F(-x)=-F\left(x\right)$

Шаг 1. Упрощение выражения Сначала раскроем скобки в исходном выражении: $F\left(x\right)=x^2\cdot 2x+x^2\cdot x^3=2x^3+x^5$Шаг 2. Нахождение $F(-x)$ Подставим $-x$ вместо $x$ в полученное выражение: $F(-x)=2(-x{)}^3+(-x{)}^5$Так как любая отрицательная величина в нечетной степени сохраняет знак «минус» ( $(-x{)}^n=-x^n$ при нечетном $n$): $F(-x)=2(-x^3)+(-x^5)=-2x^3-x^5$Шаг 3. Сравнение результатов Теперь сравним полученное выражение с исходной функцией $F\left(x\right)$:

1. Проверка на четность:
   $F(-x)=-2x^3-x^5$
   $F\left(x\right)=2x^3+x^5$
   Видно, что $F(-x)\ne F\left(x\right)$, следовательно, функция не является четной. Проверка на нечетность:
   Вынесем минус за скобки в выражении для $F(-x)$:
   $F(-x)=-(2x^3+x^5)$
   Заметим, что выражение в скобках в точности совпадает с исходной функцией $F\left(x\right)$.
   Таким образом, $F(-x)=-F\left(x\right)$.

Вывод Так как выполняется условие $F(-x)=-F\left(x\right)$, данная функция является нечетной. Графически это означает, что график функции симметричен относительно начала координат (точки $(0,0)$). Я могу построить таблицу значений для этой функции или найти её производную, если это потребуется для дальнейшего анализа.