Используя правило дифференцирования сложной функции найдите производную функцииа)y=(x^2-3x+1)^7б)y=корень из x^2-3x+1в)y=tg(3x-pi/4)г)y=cos^2x

Для нахождения производных данных функций используется правило дифференцирования сложной функции: $\left(f\right(g\left(x\right)){)}^{\prime }=f^{\prime }(g\left(x\right))\cdot g^{\prime }(x)$. а) $y=(x^2-3x+1{)}^7$ Внешняя функция — степенная $u^7$, внутренняя — $u=x^2-3x+1$.

1. Производная внешней функции: $7(x^2-3x+1{)}^6$. Производная внутренней функции: $(x^2-3x+1{)}^{\prime }=2x-3$. Итоговая производная:
   $y^{\prime }=7(x^2-3x+1{)}^6\cdot (2x-3)=(14x-21\left)\right(x^2-3x+1{)}^6$.

б) $y=\sqrt{x^2-3x+1}$ Внешняя функция — корень $\sqrt{u}$ , внутренняя — $u=x^2-3x+1$.

1. Производная внешней функции: $\frac{1}{2\sqrt{x^2-3x+1}}$ . Производная внутренней функции: $(x^2-3x+1{)}^{\prime }=2x-3$. Итоговая производная:
   $y^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x^2-3x+1}}\cdot (2x-3)=\frac{2x-3}{2\sqrt{x^2-3x+1}}$ .

в) $y=\text{tg}(3x-\frac{\pi }{4})$ Внешняя функция — тангенс $\text{tg}\left(u\right)$, внутренняя — $u=3x-\frac{\pi }{4}$ .

1. Производная внешней функции: $\frac{1}{{\cos }^2(3x-\frac{\pi }{4})}$ . Производная внутренней функции: $(3x-\frac{\pi }{4}{)}^{\prime }=3$ . Итоговая производная:
   $y^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^2(3x-\frac{\pi }{4})}\cdot 3=\frac{3}{{\cos }^2(3x-\frac{\pi }{4})}$ .

г) $y={\cos }^{2}x$ Функцию можно записать как $(\cos x{)}^2$. Внешняя функция — квадрат $u^2$, внутренняя — $u=\cos x$.

1. Производная внешней функции: $2\cos x$. Производная внутренней функции: $(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$. Итоговая производная:
   $y^{\prime }=2\cos x\cdot (-\sin x)=-2\sin x\cos x$.
   Используя формулу синуса двойного угла, можно упростить: $y^{\prime }=-\sin 2x$.