Log по осн 7 (x^2 -2x-8)=1

Для решения уравнения ${\log }_7(x^2-2x-8)=1$ воспользуемся определением логарифма. 1. Переход к алгебраическому уравнению По определению, ${\log }_{a}b=c$ равносильно $a^c=b$. В данном случае основание $a=7$, аргумент $b=x^2-2x-8$, а значение $c=1$. $x^2-2x-8=7^1$ $x^2-2x-8=7$2. Приведение к квадратному виду Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартный вид $a{x}^2+bx+c=0$: $x^2-2x-8-7=0$ $x^2-2x-15=0$3. Решение квадратного уравнения Воспользуемся теоремой Виета или дискриминантом. Через дискриминант ( $D$): $D=b^2-4ac=(-2{)}^2-4\cdot 1\cdot (-15)=4+60=64$ $\sqrt{D}=8$ Находим корни по формуле $x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$ :

• $x_1=\frac{2+8}{2}=\frac{10}{2}=5$ $x_2=\frac{2-8}{2}=\frac{-6}{2}=-3$

4. Проверка области допустимых значений (ОДЗ) Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: $x^2-2x-8>0$.

• При $x=5$: $5^2-2\left(5\right)-8=25-10-8=7>0$ (подходит) При $x=-3$: $(-3{)}^2-2(-3)-8=9+6-8=7>0$ (подходит)

Примечание: Так как в процессе решения мы приравняли аргумент к $7^1$ (то есть к положительному числу $7$), условие $x^2-2x-8>0$ выполняется автоматически для найденных корней.

Ответ: $-3;5$. Я могу составить для вас аналогичные примеры для закрепления материала или разобрать решение через свойства логарифмов. Хотите продолжить?