Log1/3(x+1)>=log 1/3(3-x)

Для решения неравенства ${\log }_{1/3}(x+1)\ge {\log }_{1/3}(3-x)$ необходимо выполнить три основных шага: определить область допустимых значений (ОДЗ), решить само неравенство с учетом свойств логарифма и найти пересечение этих условий. 1. Нахождение области допустимых значений (ОДЗ) Аргумент логарифма всегда должен быть строго больше нуля. Поэтому составляем систему ограничений:

1. $x+1>0⟹x>-1$ $3-x>0⟹x<3$

Таким образом, ОДЗ: $x\in (-1;3)$. 2. Решение логарифмического неравенства При решении неравенств вида ${\log }_{a}f\left(x\right)\ge {\log }_{a}g\left(x\right)$ важно учитывать основание логарифма $a$:

• Если $a>1$, знак неравенства сохраняется. Если $0<a<1$, знак неравенства меняется на противоположный.

В данном случае основание $a=1/3$. Так как $1/3<1$, мы переходим к сравнению аргументов, меняя знак $\ge$ на $\le$: $x+1\le 3-x$Решаем полученное линейное неравенство:

1. Переносим $x$ в левую часть, а числа в правую: $x+x\le 3-1$ $2x\le 2$ $x\le 1$

3. Пересечение решения с ОДЗ Теперь необходимо объединить полученное решение с ограничениями из первого шага:

• Условие из решения: $x\le 1$ Условие из ОДЗ: $-1<x<3$

Наносим эти интервалы на числовую прямую:

• Значения должны быть одновременно больше $-1$, меньше или равны $1$ и меньше $3$. Общая часть (пересечение) находится в промежутке от $-1$ до $1$ включительно.

Ответ: $x\in (-1;1]$ Я могу составить для вас аналогичное задание для закрепления материала или разобрать более сложный пример с переменным основанием. Хотите попробовать решить похожий пример?