Log2(2x-1)=log2(x^2+x-3)

Для решения уравнения ${\log }_2(2x-1)={\log }_2(x^2+x-3)$ необходимо выполнить несколько последовательных шагов: определить область допустимых значений (ОДЗ), приравнять аргументы логарифмов и проверить полученные корни. 1. Определение области допустимых значений (ОДЗ) Аргументы логарифмов должны быть строго больше нуля. Нам необходимо, чтобы выполнялась система неравенств:

1. $2x-1>0⟹x>0.5$ $x^2+x-3>0$

2. Решение уравнения Так как основания логарифмов равны, мы можем приравнять их аргументы: $2x-1=x^2+x-3$Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: $x^2+x-2x-3+1=0$ $x^2-x-2=0$Для решения воспользуемся теоремой Виета или дискриминантом:

• Сумма корней: $x_1+x_2=1$ Произведение корней: $x_1\cdot x_2=-2$

Отсюда находим два кандидата на корни:

• $x_1=2$ $x_2=-1$

3. Проверка корней по ОДЗ Проверим каждый корень на соответствие условиям логарифмической функции: Для $x_1=2$:

• $2\left(2\right)-1=3$ (больше 0) — подходит. $(2{)}^2+2-3=4+2-3=3$ (больше 0) — подходит. Результат: корень является верным.

Для $x_2=-1$:

• $2\left(-1\right)-1=-3$ (меньше 0). Логарифм отрицательного числа не определен в действительных числах. Результат: корень является посторонним.

Ответ: x = 2 Хотите, чтобы я подготовил для вас аналогичную задачу для закрепления материала или разобрал более сложный пример с логарифмами?