Надо решить эти уравнения 1) 4sin x +5sin^2 x+5cos^2x=4 2)sin^2 18x=1/4 3)cos^2x=4cos x 4)36sin x=cos x 5)1+2sin 2x+2cos^2 x=0

Ответы к уравнениям: 1) $x=(-1{)}^{n+1}\arcsin \left(\frac{1}{4}\right)+\pi n$ ; 2) $x=\pm \frac{\pi }{108}+\frac{\pi k}{18}$ ; 3) $x=\frac{\pi }{2}+\pi n$ ; 4) $x=\arctan \left(\frac{1}{36}\right)+\pi n$ ; 5) $x=-\frac{\pi }{4}+\pi n$ и $x=-\arctan \left(3\right)+\pi n$. Шаг 1: Решение уравнения 4sin x + 5sin^2 x + 5cos^2 x = 4 Используем основное тригонометрическое тождество ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$. Вынесем общий множитель за скобки: $4\sin x+5({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)=4$ $4\sin x+5=4$ $4\sin x=-1$ $\sin x=-\frac{1}{4}$ $x=(-1{)}^{n+1}\arcsin \left(\frac{1}{4}\right)+\pi n,n\in \mathbb{Z}$ Шаг 2: Решение уравнения sin^2 18x = 1/4 Данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений: $\sin 18x=\frac{1}{2}$ или $\sin 18x=-\frac{1}{2}$ . Это можно записать короче: $\sin 18x=\pm \frac{1}{2}$ $18x=\pm \frac{\pi }{6}+\pi k$ Разделим обе части на 18: $x=\pm \frac{\pi }{108}+\frac{\pi k}{18},k\in \mathbb{Z}$ Шаг 3: Решение уравнения cos^2 x = 4cos x Перенесем все слагаемые в левую часть и вынесем общий множитель: ${\cos }^{2}x-4\cos x=0$ $\cos x(\cos x-4)=0$ Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

1. $\cos x=0x=\frac{\pi }{2}+\pi n,n\in \mathbb{Z}$ $\cos x-4=0\cos x=4$. Данное уравнение не имеет решений, так как $\left|\cos x\right|\le 1$.

Шаг 4: Решение уравнения 36sin x = cos x Разделим обе части уравнения на $\cos x$. Если $\cos x=0$, то уравнение принимает вид $36\sin x=0$, что невозможно одновременно с $\cos x=0$, значит, деление корректно: $36\frac{\sin x}{\cos x}=1$ $36\tan x=1$ $\tan x=\frac{1}{36}$ $x=\arctan \left(\frac{1}{36}\right)+\pi n,n\in \mathbb{Z}$ Шаг 5: Решение уравнения 1 + 2sin 2x + 2cos^2 x = 0 Заменим $1$ на ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x$ и используем формулу синуса двойного угла $2\sin 2x=4\sin x\cos x$: ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x+4\sin x\cos x+2{\cos }^{2}x=0$ ${\sin }^{2}x+4\sin x\cos x+3{\cos }^{2}x=0$ Разделим на ${\cos }^{2}x$ (при $\cos x\ne 0$): ${\tan }^{2}x+4\tan x+3=0$ Пусть $t=\tan x$, тогда $t^2+4t+3=0$. По теореме Виета $t_1=-1,t_2=-3$.

1. $\tan x=-1x=-\frac{\pi }{4}+\pi n$ $\tan x=-3x=-\arctan \left(3\right)+\pi n$

Ответ:

1. $x=(-1{)}^{n+1}\arcsin \left(\frac{1}{4}\right)+\pi n,n\in \mathbb{Z}$ $x=\pm \frac{\pi }{108}+\frac{\pi k}{18},k\in \mathbb{Z}$ $x=\frac{\pi }{2}+\pi n,n\in \mathbb{Z}$ $x=\arctan \left(\frac{1}{36}\right)+\pi n,n\in \mathbb{Z}$ $x=-\frac{\pi }{4}+\pi n,x=-\arctan \left(3\right)+\pi n,n\in \mathbb{Z}$

Подсказать, как выполнить проверку корней или отобрать их на определенном промежутке?