Найдите бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, в которой сумма членов равна 9, а сумма квадратов равна 40,5

Для решения задачи воспользуемся формулами суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Пусть $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель, где $\left|q\right|<1$. 1. Составление системы уравнений Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле: $S=\frac{b_1}{1-q}$ По условию $S=9$, следовательно:

1. $\frac{b_1}{1-q}=9$

Если каждый член прогрессии возвести в квадрат, мы получим новую прогрессию: $b_1^2,b_1^2{q}^2,b_1^2{q}^4,\dots$. В этой новой прогрессии первый член равен $b_1^2$, а знаменатель равен $q^2$. Сумма этой прогрессии равна 40,5: 2) $\frac{b_1^2}{1-q^2}=40,5$ 2. Решение системы уравнений Выразим $b_1$ из первого уравнения: $b_1=9(1-q)$ Подставим это выражение во второе уравнение: $\frac{\left(9\right(1-q){)}^2}{1-q^2}=40,5$ Разложим знаменатель второго уравнения как разность квадратов $1-q^2=(1-q)(1+q)$: $\frac{81(1-q{)}^2}{(1-q)(1+q)}=40,5$ Сократим дробь на $(1-q)$, учитывая, что $q\ne 1$: $\frac{81(1-q)}{1+q}=40,5$ Разделим обе стороны на 40,5: $\frac{2(1-q)}{1+q}=1$ Раскроем скобки и решим уравнение относительно $q$: $2-2q=1+q$ $2-1=q+2q$ $1=3q$ $q=\frac{1}{3}$ 3. Нахождение первого члена прогрессии Теперь подставим значение $q$ в выражение для $b_1$: $b_1=9(1-\frac{1}{3})$ $b_1=9\cdot \frac{2}{3}$ $b_1=6$ Ответ: Искомая геометрическая прогрессия начинается с числа 6, а каждый её последующий член в 3 раза меньше предыдущего: 6; 2; 2/3; 2/9; ... Я могу составить для вас аналогичную задачу с другими параметрами или помочь с решением смежных задач по алгебре. Хотите, чтобы я проверил решение для случая, когда известна сумма кубов членов?