Найти угол между плоскостями x-2y+4z=5 и 2x+4y-3z=2

Для нахождения угла между двумя плоскостями необходимо найти угол между их нормальными векторами (векторами, перпендикулярными этим плоскостям). 1. Определение нормальных векторов Коэффициенты при переменных $x$, $y$ и $z$ в уравнении плоскости являются координатами её вектора нормали.

• Для первой плоскости $x-2y+4z=5$ вектор нормали:
  $\overrightarrow{n_1}=(1,-2,4)$ Для второй плоскости $2x+4y-3z=2$ вектор нормали:
  $\overrightarrow{n_2}=(2,4,-3)$

2. Формула косинуса угла Угол $\varphi$ между плоскостями вычисляется через скалярное произведение их нормалей по формуле: $\cos \varphi =\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{\left|\overrightarrow{n_1}\right|\cdot \left|\overrightarrow{n_2}\right|}$ 3. Вычисление компонентов Скалярное произведение векторов ( $\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}$): $\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}=(1\cdot 2)+(-2\cdot 4)+(4\cdot -3)$ $\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}=2-8-12=-18$Модуль скалярного произведения: $|-18|=18$. Длина вектора $\overrightarrow{n_1}$: $\left|\overrightarrow{n_1}\right|=\sqrt{1^2+(-2{)}^2+4^2}=\sqrt{1+4+16}=\sqrt{21}$ Длина вектора $\overrightarrow{n_2}$: $\left|\overrightarrow{n_2}\right|=\sqrt{2^2+4^2+(-3{)}^2}=\sqrt{4+16+9}=\sqrt{29}$ 4. Итоговый расчет Подставляем значения в формулу: $\cos \varphi =\frac{18}{\sqrt{21}\cdot \sqrt{29}}=\frac{18}{\sqrt{609}}$ Чтобы найти сам угол, воспользуемся функцией арккосинуса: $\varphi =\arccos \left(\frac{18}{\sqrt{609}}\right)$ Приблизительное значение:

• $\cos \varphi \approx \frac{18}{24.678}\approx 0.7294$ $\varphi \approx {43.16}^{\circ }$ или $0.753$ рад.

Ответ: $\arccos \left(\frac{18}{\sqrt{609}}\right)$ . Хотите, чтобы я проверил эти плоскости на перпендикулярность или параллельность с другими заданными плоскостями?