Найдите площадь полной поверхности и объем усеченного конуса, если он образован вращением прямоугольной трапеции с основаниями 9 и 14 см вокруг меньшей боковой стороны, равной 12 см.

Question

Найдите площадь полной поверхности и объем усеченного конуса, если он образован вращением прямоугольной трапеции с основаниями 9 и 14 см вокруг меньшей боковой стороны, равной 12 см.

xX_Trumpet_Xx 02.02.2026 14:03

Ответы и вопросы пользователей

Смирнов Алексей Владимирович · Accepted Answer

Площадь полной поверхности усеченного конуса составляет $576 π 576 pi$ см², а его объем равен $1612 π 1612 pi$ см². Шаг 1: Определение параметров конуса При вращении прямоугольной трапеции вокруг ее меньшей боковой стороны (которая перпендикулярна основаниям) образуется усеченный конус.

Высота конуса $h h$ равна меньшей боковой стороне трапеции: $h = 12 h equals 12$ см. Радиусы оснований $R cap R$ и $r r$ равны основаниям трапеции: $R = 14 cap R equals 14$ см, $r = 9 r equals 9$ см. Образующая $l l$ — это большая боковая сторона трапеции.

Шаг 2: Нахождение образующей Образующую $l l$ найдем по теореме Пифагора, рассматривая прямоугольный треугольник, образованный высотой и разностью радиусов: $l = \sqrt{h^{2} + (R - r)^{2}} = \sqrt{12^{2} + (14 - 9)^{2}} = \sqrt{144 + 5^{2}} = \sqrt{169} = 13 l equals the square root of h squared plus open paren cap R minus r close paren squared end-root equals the square root of 12 squared plus open paren 14 minus 9 close paren squared end-root equals the square root of 144 plus 5 squared end-root equals the square root of 169 end-root equals 13$ см. Шаг 3: Расчет объема Объем усеченного конуса вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} π h (R^{2} + R r + r^{2}) cap V equals one-third pi h of open paren cap R squared plus cap R r plus r squared close paren$ Подставим значения: $V = \frac{1}{3} π \cdot 12 \cdot (14^{2} + 14 \cdot 9 + 9^{2}) = 4 π \cdot (196 + 126 + 81) = 4 π \cdot 403 = 1612 π cap V equals one-third pi center dot 12 center dot open paren 14 squared plus 14 center dot 9 plus 9 squared close paren equals 4 pi center dot open paren 196 plus 126 plus 81 close paren equals 4 pi center dot 403 equals 1612 pi$ см³. Шаг 4: Расчет площади полной поверхности Полная поверхность складывается из площадей двух оснований и боковой поверхности: $S_{t o t a l} = π R^{2} + π r^{2} + π l (R + r) cap S sub t o t a l end-sub equals pi cap R squared plus pi r squared plus pi l open paren cap R plus r close paren$ Вычислим каждое слагаемое:

Площадь нижнего основания: $π \cdot 14^{2} = 196 π pi center dot 14 squared equals 196 pi$ . Площадь верхнего основания: $π \cdot 9^{2} = 81 π pi center dot 9 squared equals 81 pi$ . Площадь боковой поверхности: $π \cdot 13 \cdot (14 + 9) = 13 \cdot 23 \cdot π = 299 π pi center dot 13 center dot open paren 14 plus 9 close paren equals 13 center dot 23 center dot pi equals 299 pi$ .
Суммарная площадь:
$S_{t o t a l} = 196 π + 81 π + 299 π = 576 π cap S sub t o t a l end-sub equals 196 pi plus 81 pi plus 299 pi equals 576 pi$ см².

Ответ: Площадь полной поверхности равна $576 π 576 pi$ см², объем равен $1612 π 1612 pi$ см³. Требуется ли вам перевести эти значения в десятичный вид с округлением до сотых?

Форма ответа

Другие вопросы по теме «Геометрия»

Вопросы из других предметов