Найдите точку максимума функции y=(x+5)e^(5-x)

Точкой максимума функции $y=(x+5)e^{5-x}$ является $x=-4$. Шаг 1: Нахождение производной функции Для нахождения производной используем правило дифференцирования произведения $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$ и правило дифференцирования сложной функции. Пусть $u=x+5$, а $v=e^{5-x}$. Тогда: $u^{\prime }=(x+5{)}^{\prime }=1$ $v^{\prime }=(e^{5-x}{)}^{\prime }=e^{5-x}\cdot (5-x{)}^{\prime }=-e^{5-x}$ Вычисляем производную функции $y$: $y^{\prime }=1\cdot e^{5-x}+(x+5)\cdot (-e^{5-x})$ $y^{\prime }=e^{5-x}(1-(x+5\left)\right)=e^{5-x}(1-x-5)=e^{5-x}(-x-4)$ $y^{\prime }=-(x+4)e^{5-x}$ Шаг 2: Определение критических точек Приравниваем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $-(x+4)e^{5-x}=0$ Так как показательная функция $e^{5-x}$ всегда больше нуля для любого действительного $x$, уравнение сводится к: $-(x+4)=0$ $x=-4$ Шаг 3: Проверка условия максимума Определим знаки производной на интервалах относительно точки $x=-4$:

1. При $x<-4$ (например, $x=-5$): $y^{\prime }=-(-5+4)e^{10}=1\cdot e^{10}>0$. Функция возрастает. При $x>-4$ (например, $x=0$): $y^{\prime }=-(0+4)e^5=-4e^5<0$. Функция убывает.

Так как в точке $x=-4$ производная меняет знак с плюса на минус, эта точка является точкой максимума. Ответ: -4 Сообщите, требуется ли вам расчет максимального значения функции в этой точке или исследование на других промежутках?