Найдите трёхзначное натуральное число, большее 500, которое при делении на 6 и на 5 даёт равные ненулевые остатки и первая слева цифра которого является средним арифметическим двух других цифр. в ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Одним из таких чисел является 573. 1. Формулировка условий задачи Обозначим искомое трёхзначное число как $n$, а его цифры как $a$ (сотни), $b$ (десятки) и $c$ (единицы). Согласно условию:

1. $n>500$, следовательно, $a\in \{5,6,7,8,9\}$. $n\equiv r\left(\mathrm{mod}6\right)$ и $n\equiv r\left(\mathrm{mod}5\right)$, где $0<r<5$ (остаток не равен нулю и меньше делителей). $a=\frac{b+c}{2}$ или $2a=b+c$.

2. Анализ остатков Если число $n$ при делении на 5 и на 6 даёт одинаковый остаток $r$, то оно представимо в виде: $n=\text{НОК}(5,6)\cdot k+r=30k+r$Это означает, что число $n-r$ должно делиться на 30 без остатка. Следовательно, число $n$ при делении на 30 должно давать остаток $r\in \{1,2,3,4\}$. 3. Поиск подходящего числа Рассмотрим случай, когда первая цифра $a=5$. Тогда по условию о среднем арифметическом: $b+c=2a=10$Возможные пары цифр $(b,c)$: $(1,9),(2,8),(3,7),(4,6),(5,5),(6,4),(7,3),(8,2),(9,1)$. Проверим эти числа на соответствие условию $n\equiv r\left(\mathrm{mod}30\right)$, где $r\in \{1,2,3,4\}$:

• $519\left(\mathrm{mod}30\right)=9$ (не подходит) $528\left(\mathrm{mod}30\right)=18$ (не подходит) $537\left(\mathrm{mod}30\right)=27$ (не подходит) $546\left(\mathrm{mod}30\right)=6$ (не подходит) $555\left(\mathrm{mod}30\right)=15$ (не подходит) $564\left(\mathrm{mod}30\right)=24$ (не подходит) $573\left(\mathrm{mod}30\right)=3$ (подходит, так как остаток $r=3$ является ненулевым и меньше 5).

4. Проверка результата Для числа 573:

1. $573>500$ — верно. Деление на 6: $573=6\cdot 95+3$ (остаток 3). Деление на 5: $573=5\cdot 114+3$ (остаток 3). Остатки равны и не равны нулю — верно. Среднее арифметическое цифр: $\frac{7+3}{2}=\frac{10}{2}=5$ . Первая цифра равна среднему арифметическому двух других — верно.

Также условиям задачи удовлетворяет, например, число 693 ( $693=30\cdot 23+3$; $\frac{9+3}{2}=6$ ). Ответ Одним из таких чисел является 573. Укажите, требуется ли вам полный список всех возможных чисел, удовлетворяющих данным условиям?