Sinx (2sinx - 3ctgx) = 3

Для решения уравнения $\sin x(2\sin x-3\text{ctg}x)=3$ воспользуемся тригонометрическими тождествами и перейдем к одной переменной. 1. Раскрытие скобок и упрощение Сначала раскроем скобки в левой части уравнения: $2{\sin }^{2}x-3\sin x\cdot \text{ctg}x=3$Вспомним определение котангенса: $\text{ctg}x=\frac{\cos x}{\sin x}$ . Подставим его в уравнение (учитывая, что $\sin x\ne 0$): $2{\sin }^{2}x-3\sin x\cdot \frac{\cos x}{\sin x}=3$ $2{\sin }^{2}x-3\cos x=3$2. Приведение к одной тригонометрической функции Используем основное тригонометрическое тождество ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$, чтобы все уравнение зависело только от косинуса: $2(1-{\cos }^{2}x)-3\cos x=3$ $2-2{\cos }^{2}x-3\cos x=3$Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: $-2{\cos }^{2}x-3\cos x-1=0$Умножим на $-1$ для удобства: $2{\cos }^{2}x+3\cos x+1=0$3. Решение квадратного уравнения Пусть $t=\cos x$, где $\left|t\right|\le 1$. $2t^2+3t+1=0$Найдем дискриминант: $D=3^2-4\cdot 2\cdot 1=9-8=1$Корни уравнения: $t_1=\frac{-3+1}{2\cdot 2}=\frac{-2}{4}=-0.5$ $t_2=\frac{-3-1}{4}=\frac{-4}{4}=-1$ 4. Обратная подстановка Теперь найдем значения $x$ для каждого случая: Случай 1: $\cos x=-0.5$ $x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k,\text{где}k\in \mathbb{Z}$ Случай 2: $\cos x=-1$ $x=\pi +2\pi n,\text{где}n\in \mathbb{Z}$5. Проверка области допустимых значений (ОДЗ) В исходном уравнении присутствует $\text{ctg}x$, следовательно, $\sin x\ne 0$. Для обоих найденных решений:

• Если $\cos x=-0.5$, то $\sin x=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}\ne 0$ . Если $\cos x=-1$, то $\sin x=0$.

Так как при $\cos x=-1$ значение $\sin x$ равно нулю, котангенс не определен. Следовательно, корни $x=\pi +2\pi n$ являются посторонними. Ответ: $x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$ Я могу также отобрать корни этого уравнения на конкретном числовом промежутке, если это необходимо.