Найти минимум функции z=x^2+y^2, при условии x/1+y/2=1 варианты ответов: а) 4/5 б) 1 в) 2/5 г) 1/5

Минимум функции $z=x^2+y^2$ при заданном условии $x+\frac{y}{2}=1$ равен 4/5. ️ Шаг 1: Выражение одной переменной через другую Из уравнения связи $x+\frac{y}{2}=1$ выразим переменную $x$: $x=1-\frac{y}{2}$ ️ Шаг 2: Подстановка в целевую функцию Подставим полученное выражение для $x$ в минимизируемую функцию $z=x^2+y^2$: $z=(1-\frac{y}{2}{)}^2+y^2$ Раскроем скобки: $z=1-y+\frac{y^2}{4}+y^2=\frac{5}{4}{y}^2-y+1$ ️ Шаг 3: Нахождение критической точки Для поиска экстремума функции одной переменной $z\left(y\right)$ найдем её производную и приравняем к нулю: $\frac{dz}{dy}=\frac{5}{2}y-1$ $\frac{5}{2}y-1=0$ $y=\frac{2}{5}=0.4$ Так как вторая производная $z^{\prime \prime }=2.5>0$, найденная точка является точкой минимума. ️ Шаг 4: Вычисление минимального значения функции Найдем соответствующее значение $x$: $x=1-\frac{0.4}{2}=1-0.2=0.8=\frac{4}{5}$ Вычислим минимальное значение $z$: $z_{min}=(\frac{4}{5}{)}^2+(\frac{2}{5}{)}^2=\frac{16}{25}+\frac{4}{25}=\frac{20}{25}=\frac{4}{5}$ Ответ: Правильный вариант — а) 4/5. Требуется ли вам разобрать решение этой задачи методом множителей Лагранжа для проверки результата?