Найти производную по определению: у=1/х^2

Для нахождения производной функции $y=\frac{1}{x^2}$ по определению воспользуемся формулой предела отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю: $y^{\prime }=\underset{\Delta x0}{\lim }\frac{f(x+\Delta x)-f\left(x\right)}{\Delta x}$ Шаг 1: Определение приращения функции Подставим значения нашей функции в числитель:

1. $f\left(x\right)=\frac{1}{x^2}$ $f(x+\Delta x)=\frac{1}{(x+\Delta x{)}^2}$

Разность составит: $\Delta y=\frac{1}{(x+\Delta x{)}^2}-\frac{1}{x^2}$ Шаг 2: Приведение к общему знаменателю Приведем дроби в числителе к общему знаменателю $x^2(x+\Delta x{)}^2$: $\Delta y=\frac{x^2-(x+\Delta x{)}^2}{x^2(x+\Delta x{)}^2}$ Раскроем скобки в числителе по формуле квадрата суммы $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$: $\Delta y=\frac{x^2-(x^2+2x\Delta x+(\Delta x{)}^2)}{x^2(x+\Delta x{)}^2}$ $\Delta y=\frac{x^2-x^2-2x\Delta x-(\Delta x{)}^2}{x^2(x+\Delta x{)}^2}$ $\Delta y=\frac{-2x\Delta x-(\Delta x{)}^2}{x^2(x+\Delta x{)}^2}$ Шаг 3: Составление разностного отношения Разделим полученное выражение на $\Delta x$: $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{-2x\Delta x-(\Delta x{)}^2}{\Delta x\cdot x^2(x+\Delta x{)}^2}$ Вынесем $\Delta x$ в числителе за скобки и сократим его: $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\Delta x(-2x-\Delta x)}{\Delta x\cdot x^2(x+\Delta x{)}^2}=\frac{-2x-\Delta x}{x^2(x+\Delta x{)}^2}$ Шаг 4: Вычисление предела Теперь найдем предел полученного выражения при $\Delta x0$: $y^{\prime }=\underset{\Delta x0}{\lim }\frac{-2x-\Delta x}{x^2(x+\Delta x{)}^2}$ Подставим $\Delta x=0$ в выражение: $y^{\prime }=\frac{-2x-0}{x^2(x+0{)}^2}=\frac{-2x}{x^2\cdot x^2}=\frac{-2x}{x^4}$ Ответ: Сократив на $x$, получаем искомую производную: $y^{\prime }=-\frac{2}{x^3}$ Могу также помочь с нахождением производных для более сложных функций или разобрать правила дифференцирования. Желаете рассмотреть другой пример?