Какой цифрой заканчивается число 11 в 11 степени плюс 12 в 12 степени плюс 13 в 13 степени?

Число ${11}^{11}+{12}^{12}+{13}^{13}$ заканчивается цифрой 0. ️ Шаг 1: Нахождение последней цифры ${11}^{11}$ Последняя цифра любой степени числа зависит только от последней цифры основания. Для числа $11$ последняя цифра — $1$. Любая степень числа, оканчивающегося на $1$, также оканчивается на $1$. ${11}^{11}\equiv 1^{11}\equiv 1\left(\mathrm{mod}10\right)$️ Шаг 2: Нахождение последней цифры ${12}^{12}$ Для основания $12$ нас интересует цифра $2$. Степени двойки имеют цикличность последних цифр с периодом $4$: $2,4,8,6$. Показатель степени $12$ делится на $4$ без остатка ( $12=4\times 3$). Это означает, что последней цифрой будет четвертое число цикла. ${12}^{12}\equiv 2^{12}\equiv (2^4{)}^3\equiv {16}^3\equiv 6(\mathrm{mod}10)$️ Шаг 3: Нахождение последней цифры ${13}^{13}$ Для основания $13$ рассматриваем цифру $3$. Степени тройки также имеют цикл длиной $4$: $3,9,7,1$. Разделим показатель степени $13$ на $4$: $13=4\times 3+1$. Остаток равен $1$, что соответствует первому числу цикла. ${13}^{13}\equiv 3^{13}\equiv (3^4{)}^3\cdot 3^1\equiv 1^3\cdot 3\equiv 3(\mathrm{mod}10)$️ Шаг 4: Сложение результатов Сложим последние цифры, полученные для каждого слагаемого: $1+6+3=10$Число $10$ оканчивается на $0$. Следовательно, искомая цифра — 0. Ответ: 0 Нужны ли вам дополнительные примеры нахождения последних цифр для выражений с отрицательными степенями или факториалами?