Найти точки экстремума функции y=x^3-3x^2

Для нахождения точек экстремума функции необходимо выполнить стандартный алгоритм, включающий нахождение производной, определение критических точек и исследование знаков производной. 1. Нахождение производной функции Сначала найдем производную функции $y=x^3-3x^2$ по правилу дифференцирования степенной функции: $y^{\prime }=(x^3{)}^{\prime }-(3x^2{)}^{\prime }$ $y^{\prime }=3x^2-6x$2. Определение критических точек Критические точки — это значения $x$, при которых производная равна нулю или не существует. В данном случае производная определена на всей числовой прямой. Приравняем её к нулю: $3x^2-6x=0$Вынесем общий множитель за скобки: $3x(x-2)=0$Отсюда получаем два корня:

1. $3x=0⟹{\mathbf{x}}_{\mathbf{1}}\mathbf{=}\mathbf{0}$ $x-2=0⟹{\mathbf{x}}_{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{2}$

3. Исследование точек на экстремум Чтобы определить, являются ли эти точки максимумами или минимумами, проверим знак производной $y^{\prime }=3x(x-2)$ на интервалах, разделенных этими точками: $(-\infty ,0)$, $(0,2)$ и $(2,+\infty )$.

• Интервал $(-\infty ,0)$: Возьмем $x=-1$.
  $y^{\prime }\left(-1\right)=3(-1{)}^2-6(-1)=3+6=9>0$. Функция возрастает. Интервал $(0,2)$: Возьмем $x=1$.
  $y^{\prime }\left(1\right)=3(1{)}^2-6(1)=3-6=-3<0$. Функция убывает. Интервал $(2,+\infty )$: Возьмем $x=3$.
  $y^{\prime }\left(3\right)=3(3{)}^2-6(3)=27-18=9>0$. Функция возрастает.

4. Вычисление значений функции в точках экстремума Используя теорему о достаточном условии экстремума:

• При переходе через точку $x=0$ знак производной меняется с + на -. Значит, это точка максимума. При переходе через точку $x=2$ знак производной меняется с - на +. Значит, это точка минимума.

Найдем соответствующие значения $y$:

• $y_{max}$ при $x=0$: $y\left(0\right)=0^3-3\cdot 0^2=0$ $y_{min}$ при $x=2$: $y\left(2\right)=2^3-3\cdot 2^2=8-12=-4$

Ответ:

• Точка максимума: $(0;0)$ Точка минимума: $(2;-4)$

Хотите, чтобы я провел полное исследование этой функции для построения графика?