Площадь поверхности правильного тетраэдра 12 корней из 3.найдите площадь поверхности конуса ,вписанного в этот тетраэдр

Площадь поверхности конуса, вписанного в данный правильный тетраэдр, равна 4\pi. ️ Шаг 1: Нахождение ребра тетраэдра Площадь полной поверхности правильного тетраэдра с ребром $a$ вычисляется по формуле $S_{тетр}=a^2\sqrt{3}$ . По условию задачи $S_{тетр}=12\sqrt{3}$ . Приравняем значения для нахождения квадрата стороны: $a^2\sqrt{3}=12\sqrt{3}$ $a^2=12$️ Шаг 2: Определение параметров вписанного конуса Для конуса, вписанного в правильный тетраэдр:

1. Основание конуса является окружностью, вписанной в грань тетраэдра (равносторонний треугольник). Радиус этой окружности:
   $r=\frac{a\sqrt{3}}{6}$ Образующая конуса $l$ совпадает с апофемой (высотой боковой грани) тетраэдра:
   $l=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

️ Шаг 3: Вычисление площади поверхности конуса Площадь полной поверхности конуса $S_{кон}$ складывается из площади основания и площади боковой поверхности: $S_{кон}=\pi r^2+\pi rl=\pi r(r+l)$Подставим выражения для $r$ и $l$ через $a$: $S_{кон}=\pi \frac{a\sqrt{3}}{6}(\frac{a\sqrt{3}}{6}+\frac{a\sqrt{3}}{2})=\pi \frac{a\sqrt{3}}{6}\left(\frac{a\sqrt{3}+3a\sqrt{3}}{6}\right)=\pi \frac{a\sqrt{3}}{6}\cdot \frac{4a\sqrt{3}}{6}$ Упростим выражение: $S_{кон}=\pi \frac{4a^2\cdot 3}{36}=\pi \frac{12a^2}{36}=\frac{\pi a^2}{3}$ Подставим найденное значение $a^2=12$: $S_{кон}=\frac{\pi \cdot 12}{3}=4\pi$ Ответ: Площадь поверхности конуса составляет 4\pi. Требуется ли вам расчет объема конуса или отношение его объема к объему тетраэдра для этой задачи?