Из вершины прямого угла c треугольника abc проведена высота cp . радиус окружности вписанной в треугольник bcp равен 60, тангенс угла bac 4/3 найдите радиус окружности вписанной в треугольник abc.

Радиус окружности, вписанной в треугольник $abc$, равен 75. ️ Шаг 1: Определение соотношений сторон основного треугольника Пусть $\angle BAC=\alpha$. По условию $\tan \alpha =\frac{4}{3}$ . В прямоугольном треугольнике $ABC$ (угол $C={90}^{\circ }$): $\tan \alpha =\frac{BC}{AC}=\frac{4}{3}$ Следовательно, можно обозначить $BC=4x$ и $AC=3x$. Тогда по теореме Пифагора гипотенуза $AB$ равна: $AB=\sqrt{(4x{)}^2+(3x{)}^2}=5x$ Отсюда находим синус угла $\alpha$: $\sin \alpha =\frac{BC}{AB}=\frac{4x}{5x}=\frac{4}{5}$ ️ Шаг 2: Установление подобия треугольников Рассмотрим треугольник $BCP$. В нем $\angle CPB={90}^{\circ }$ (так как $CP$ — высота). Угол $\angle BCP$ равен: $\angle BCP={90}^{\circ }-\angle PBC=\angle BAC=\alpha$Таким образом, $△BCP\sim △ABC$ по двум углам. Коэффициент подобия $k$ равен отношению их гипотенуз: $k=\frac{BC}{AB}=\sin \alpha =\frac{4}{5}$ ️ Шаг 3: Вычисление искомого радиуса Известно, что радиусы вписанных окружностей подобных треугольников относятся как их соответственные стороны. Обозначим радиус окружности, вписанной в $△ABC$, через $r$. По условию радиус окружности вписанной в $△BCP$ равен $r_{BCP}=60$. Тогда: $\frac{r_{BCP}}{r}=k⟹\frac{60}{r}=\frac{4}{5}$ Решим уравнение для $r$: $r=\frac{60\cdot 5}{4}=15\cdot 5=75$ Ответ: Радиус окружности, вписанной в треугольник $abc$, равен 75. Хотите также найти площадь этого треугольника или его периметр через коэффициент $x$?