Применение производной к исследованию функций и построению графиков у=(х-3)^2+2

Для исследования функции $y=(x-3{)}^2+2$ с помощью производной и построения её графика, воспользуемся стандартным алгоритмом. 1. Область определения и общие свойства

• Область определения: Функция является многочленом, поэтому $D\left(y\right)=\mathbb{R}$ (все действительные числа). Четность/нечетность: Функция не является ни четной, ни нечетной, так как $f(-x)\ne f\left(x\right)$ и $f(-x)\ne -f\left(x\right)$. Точки пересечения с осями:
  • С осью $Oy$: при $x=0$, $y=(0-3{)}^2+2=11$. Точка $(0;11)$. С осью $Ox$: уравнение $(x-3{)}^2+2=0$ не имеет действительных корней, так как $(x-3{)}^2\ge 0$, следовательно, $y\ge 2$. График не пересекает ось абсцисс.

2. Исследование функции с помощью первой производной Найдем производную функции для определения промежутков монотонности и точек экстремума: $y^{\prime }=\left(\right(x-3{)}^2+2{)}^{\prime }=2(x-3)\cdot (x-3{)}^{\prime }+0=2(x-3)$Критическая точка: Установим $y^{\prime }=0$: $2(x-3)=0⟹x=3$Определение промежутков возрастания и убывания:

• На интервале $(-\infty ;3)$: возьмем $x=0$, тогда $y^{\prime }=2(0-3)=-6<0$. Функция убывает. На интервале $(3;+\infty )$: возьмем $x=4$, тогда $y^{\prime }=2(4-3)=2>0$. Функция возрастает.

Точки экстремума: Так как при переходе через точку $x=3$ производная меняет знак с «минуса» на «плюс», то $x=3$ является точкой минимума. $y_{min}=y\left(3\right)=(3-3{)}^2+2=2$Координаты минимума: $(3;2)$. 3. Исследование с помощью второй производной Найдем вторую производную для определения выпуклости и точек перегиба: $y^{\prime \prime }=\left(2\right(x-3){)}^{\prime }=2$Так как $y^{\prime \prime }=2>0$ на всей области определения, график функции везде направлен выпуклостью вниз (вогнутый). Точек перегиба нет. 4. Сводная таблица исследования

5. Построение графика На основе полученных данных можно описать график:

1. Графиком является парабола, ветви которой направлены вверх.
2. Вершина параболы находится в точке $(3;2)$. Ось симметрии — прямая $x=3$. Дополнительные точки для точности:
   • При $x=1:y=(-2{)}^2+2=6$ При $x=2:y=(-1{)}^2+2=3$ При $x=4:y=(1{)}^2+2=3$ При $x=5:y=(2{)}^2+2=6$

График строится путем плавного соединения точки минимума $(3;2)$ с дополнительными точками, соблюдая симметрию относительно $x=3$. Я могу также рассчитать наклон касательной к этой функции в любой заданной вами точке.