Разверткой боковой поверхности конуса является полукруг. найдите угол при вершине осевого сечения.

Для решения этой задачи необходимо установить связь между геометрическими элементами конуса и его разверткой. 1. Анализ развертки Разверткой боковой поверхности конуса является сектор круга. В данном случае это полукруг.

• Радиус этого полукруга равен образующей конуса ( $l$). Длина дуги этого полукруга равна длине окружности основания конуса ( $C$).

Формула длины дуги сектора: $L=\alpha \cdot l$где $\alpha$ — центральный угол развертки в радианах. Для полукруга $\alpha =\pi$ (или ${180}^{\circ }$). Следовательно, длина дуги развертки: $C=\pi \cdot l$2. Связь с основанием конуса Длина окружности основания конуса через его радиус ( $r$) выражается формулой: $C=2\pi r$Приравняем эти два выражения для $C$: $2\pi r=\pi l$Отсюда находим отношение радиуса основания к образующей: $r=\frac{l}{2}$ 3. Нахождение угла при вершине Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник со сторонами $l,l$ и основанием $2r$. Обозначим угол при вершине осевого сечения как $\beta$. Если мы проведем высоту в этом треугольнике, она разделит его на два прямоугольных треугольника. В каждом из них:

• Гипотенуза равна $l$. Катет, противолежащий половине искомого угла ( $\frac{\beta }{2}$ ), равен $r$.

Используем определение синуса: $\sin \left(\frac{\beta }{2}\right)=\frac{r}{l}$ Подставим полученное ранее значение $r=\frac{l}{2}$ : $\sin \left(\frac{\beta }{2}\right)=\frac{l/2}{l}=\frac{1}{2}$ Находим значение угла: $\frac{\beta }{2}=\arcsin \left(\frac{1}{2}\right)={30}^{\circ }$ $\beta ={30}^{\circ }\cdot 2={60}^{\circ }$Ответ: Угол при вершине осевого сечения равен ${60}^{\circ }$. Я могу рассчитать объем или площадь полной поверхности этого конуса, если вы укажете длину образующей или радиус основания. Хотите продолжить вычисления?