2 синус квадрат икс + синус икс - 1 = 0

Для решения уравнения $2{\sin }^{2}x+\sin x-1=0$ воспользуемся методом введения новой переменной. 1. Введение замены Пусть $\sin x=t$. Поскольку значения синуса ограничены, накладываем условие: $\left|t\right|\le 1$. После замены уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $t$: $2t^2+t-1=0$2. Решение квадратного уравнения Найдем дискриминант по формуле $D=b^2-4ac$: $D=1^2-4\cdot 2\cdot \left(-1\right)=1+8=9$Вычисляем корни: $t=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$

• $t_1=\frac{-1+3}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$ $t_2=\frac{-1-3}{4}=\frac{-4}{4}=-1$

Оба значения удовлетворяют условию $\left|t\right|\le 1$. 3. Обратная замена Теперь решим два простейших тригонометрических уравнения. Случай 1: $\sin x=\frac{1}{2}$ Это стандартное значение. Решениями являются: $x=(-1{)}^n\frac{\pi }{6}+\pi n,n\in \mathbb{Z}$ Или, если записывать двумя отдельными сериями:

1. $x=\frac{\pi }{6}+2\pi n$ $x=\frac{5\pi }{6}+2\pi n$

Случай 2: $\sin x=-1$ Это частный случай (нижняя точка единичной окружности): $x=-\frac{\pi }{2}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$ Ответ: $x=(-1{)}^n\frac{\pi }{6}+\pi n;x=-\frac{\pi }{2}+2\pi k;n,k\in \mathbb{Z}$ Если вам необходимо отобрать корни на определенном промежутке, я могу помочь с этим расчетом.