Решить уравнение в целых числах 3*x^2+4*xy-7*y^2=13

Для решения уравнения $3x^2+4xy-7y^2=13$ в целых числах воспользуемся методом разложения левой части на множители. 1. Разложение на множители Рассмотрим левую часть уравнения как квадратный трехчлен относительно $x$: $3x^2+4xy-7y^2$Чтобы разложить его, найдем корни уравнения $3x^2+4xy-7y^2=0$ относительно $x$ через дискриминант: $D=(4y{)}^2-4\cdot 3\cdot (-7y^2)=16y^2+84y^2=100y^2=(10y{)}^2$Находим корни $x$: $x_{1,2}=\frac{-4y\pm 10y}{2\cdot 3}$ $x_1=\frac{6y}{6}=y,x_2=\frac{-14y}{6}=-\frac{7}{3}y$ Используя формулу $a(x-x_1)(x-x_2)$, получаем: $3(x-y)(x+\frac{7}{3}y)=(x-y)(3x+7y)$ 2. Анализ системы уравнений Исходное уравнение принимает вид: $(x-y)(3x+7y)=13$Так как $x$ и $y$ — целые числа, то множители $(x-y)$ и $(3x+7y)$ также должны быть целыми числами. Число 13 является простым, поэтому оно может быть разложено на два целых множителя только следующими способами:

1. $1\cdot 13=13$ $13\cdot 1=13$ $\left(-1\right)\cdot \left(-13\right)=13$ $\left(-13\right)\cdot \left(-1\right)=13$

Рассмотрим каждый случай отдельно. 3. Решение систем Случай 1: $\{\begin{array}{c}x-y=1\\ 3x+7y=13\end{array}$ Из первого уравнения $x=y+1$. Подставляем во второе: $3(y+1)+7y=13⟹3y+3+7y=13⟹10y=10⟹\mathbf{y}\mathbf{=}\mathbf{1}$ Тогда $x=1+1=\mathbf{2}$. Случай 2: $\{\begin{array}{c}x-y=13\\ 3x+7y=1\end{array}$ $x=y+13⟹3(y+13)+7y=1⟹3y+39+7y=1⟹10y=-38$ $y=-3.8$ (не является целым числом, решений нет). Случай 3: $\{\begin{array}{c}x-y=-1\\ 3x+7y=-13\end{array}$ $x=y-1⟹3(y-1)+7y=-13⟹3y-3+7y=-13⟹10y=-10⟹\mathbf{y}\mathbf{=}-1$ Тогда $x=-1-1=-2$. Случай 4: $\{\begin{array}{c}x-y=-13\\ 3x+7y=-1\end{array}$ $x=y-13⟹3(y-13)+7y=-1⟹3y-39+7y=-1⟹10y=38$ $y=3.8$ (не является целым числом, решений нет). Ответ Уравнение имеет два решения в целых числах:

1. $(2;1)$ $(-2;-1)$

Могу ли я помочь с решением других диофантовых уравнений или систем?