Решите неравенство ((x+1)(x+3)/(x-2)<0

Для решения неравенства $\frac{(x+1)(x+3)}{x-2}<0$ воспользуемся методом интервалов. 1. Нахождение критических точек Сначала найдем корни числителя и знаменателя, так как именно в этих точках выражение может менять знак.

• Числитель: $(x+1)(x+3)=0$
  • $x+1=0\mathbf{x}\mathbf{=}-1$ $x+3=0\mathbf{x}\mathbf{=}-3$
  Знаменатель: $x-2=0\mathbf{x}\mathbf{=}\mathbf{2}$
  • Примечание: Знаменатель не может быть равен нулю ( $x\ne 2$), поэтому эта точка всегда будет "выколотой".

2. Определение знаков на интервалах Отметим полученные точки на числовой прямой. Они разбивают прямую на четыре промежутка:

1. $(-\infty ,-3)$ $(-3,-1)$ $(-1,2)$ $(2,+\infty )$

Проверим знак выражения $f\left(x\right)=\frac{(x+1)(x+3)}{x-2}$ на каждом интервале, подставив любое число из этого промежутка:

3. Выбор ответа По условию неравенства нам нужны промежутки, где выражение меньше нуля ( $<0$). Согласно таблице, это интервалы:

• $(-\infty ,-3)$ $(-1,2)$

Так как неравенство строгое (знак $<$ , а не $\le$), все точки $-3,-1,2$ исключаются из ответа (используются круглые скобки). Ответ: $x\in (-\infty ,-3)\cup (-1,2)$Хотите, чтобы я решил аналогичное неравенство с нестрогим знаком или показал графическую интерпретацию этого решения?