Решите уравнение log3(x^2+2x)<1 (3 основание логорифма)

Для решения неравенства ${\log }_3(x^2+2x)<1$ необходимо учитывать область допустимых значений (ОДЗ) и свойства логарифмической функции. 1. Область допустимых значений (ОДЗ) Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: $x^2+2x>0$Разложим на множители: $x(x+2)>0$Корни выражения: $x=0$ и $x=-2$. Методом интервалов получаем: $x\in (-\infty ;-2)\cup (0;+\infty )$ 2. Решение неравенства Поскольку основание логарифма $3>1$, логарифмическая функция является возрастающей. При переходе к подлогарифмическим выражениям знак неравенства сохраняется. Представим $1$ как ${\log }_{3}3$: ${\log }_3(x^2+2x)<{\log }_{3}3$ $x^2+2x<3$Перенесем все члены в левую часть: $x^2+2x-3<0$Найдем корни квадратного трехчлена $x^2+2x-3=0$ через дискриминант или по теореме Виета:

• Сумма корней: $-2$ Произведение корней: $-3$ Корни: $x_1=-3$, $x_2=1$

Следовательно, решением этого неравенства является интервал: $x\in (-3;1)$ 3. Пересечение с ОДЗ Теперь объединим полученное решение с условием ОДЗ:

1. Условие из решения: $-3<x<1$ Условие ОДЗ: $x<-2$ или $x>0$

Нанесем эти интервалы на числовую прямую и найдем их общую часть:

• От $-3$ до $-2$ От $0$ до $1$

Ответ: $x\in (-3;-2)\cup (0;1)$ Я могу также помочь с решением систем неравенств или более сложных логарифмических уравнений. Хотите разобрать еще один пример?