Sin2xsin4xsin6x=1/4sin4x

Для решения уравнения $\sin \left(2x\right)\sin \left(4x\right)\sin \left(6x\right)=\frac{1}{4}\sin \left(4x\right)$ воспользуемся методами разложения на множители и тригонометрическими тождествами. 1. Перенос слагаемых и вынесение общего множителя Перенесем все части уравнения в левую сторону: $\sin \left(2x\right)\sin \left(4x\right)\sin \left(6x\right)-\frac{1}{4}\sin \left(4x\right)=0$ Вынесем общий множитель $\sin \left(4x\right)$ за скобки: $\sin \left(4x\right)\cdot \left(\sin \right(2x\left)\sin \right(6x)-\frac{1}{4})=0$ Это уравнение распадается на два случая. 2. Решение первого случая: $\sin \left(4x\right)=0$ Это простейшее тригонометрическое уравнение: $4x=\pi n,\text{где}n\in \mathbb{Z}$ $x=\frac{\pi n}{4}$ 3. Решение второго случая: $\sin \left(2x\right)\sin \left(6x\right)-\frac{1}{4}=0$ Преобразуем произведение синусов в разность косинусов по формуле $\sin \left(\alpha \right)\sin \left(\beta \right)=\frac{1}{2}\left(\cos \right(\alpha -\beta )-\cos (\alpha +\beta \left)\right)$ : $\frac{1}{2}\left(\cos \right(2x-6x)-\cos (2x+6x\left)\right)=\frac{1}{4}$ $\frac{1}{2}\left(\cos \right(-4x)-\cos (8x\left)\right)=\frac{1}{4}$ Учитывая четность косинуса ( $\cos \left(-4x\right)=\cos \left(4x\right)$) и умножая обе части на 2: $\cos \left(4x\right)-\cos \left(8x\right)=\frac{1}{2}$ Используем формулу двойного угла для косинуса $\cos \left(8x\right)=2{\cos }^2\left(4x\right)-1$: $\cos \left(4x\right)-\left(2{\cos }^2\right(4x)-1)=\frac{1}{2}$ $-2{\cos }^2\left(4x\right)+\cos \left(4x\right)+1=\frac{1}{2}$ $2{\cos }^2\left(4x\right)-\cos \left(4x\right)-\frac{1}{2}=0$ Умножим на 2 для удобства: $4{\cos }^2\left(4x\right)-2\cos \left(4x\right)-1=0$Пусть $t=\cos \left(4x\right)$, где $\left|t\right|\le 1$. Получаем квадратное уравнение: $4t^2-2t-1=0$ $D=(-2{)}^2-4\cdot 4\cdot (-1)=4+16=20$ $t=\frac{2\pm \sqrt{20}}{8}=\frac{2\pm 2\sqrt{5}}{8}=\frac{1\pm \sqrt{5}}{4}$ Оба значения подходят по модулю, так как $\frac{1+\sqrt{5}}{4}\approx 0.81$ и $\frac{1-\sqrt{5}}{4}\approx -0.31$ . Эти значения соответствуют косинусам углов ${36}^{\circ }$ и ${72}^{\circ }$ (точнее, $\frac{\pi }{5}$ и $\frac{3\pi }{5}$ ):

• Для $t_1=\frac{1+\sqrt{5}}{4}$ :
  $\cos \left(4x\right)=\cos \left(\frac{\pi }{5}\right)⟹4x=\pm \frac{\pi }{5}+2\pi k⟹x=\pm \frac{\pi }{20}+\frac{\pi k}{2}$ Для $t_2=\frac{1-\sqrt{5}}{4}$ :
  $\cos \left(4x\right)=\cos \left(\frac{3\pi }{5}\right)⟹4x=\pm \frac{3\pi }{5}+2\pi k⟹x=\pm \frac{3\pi }{20}+\frac{\pi k}{2}$

Итоговый ответ:

1. $x=\frac{\pi n}{4}$ $x=\pm \frac{\pi }{20}+\frac{\pi k}{2}$ $x=\pm \frac{3\pi }{20}+\frac{\pi k}{2}$
   Где $n,k\in \mathbb{Z}$.

Я могу помочь с решением других тригонометрических уравнений или систем. Хотите разобрать еще один пример?