Решить уравнение 4-(cos^2)3x=3(sin^2)3x+2sin6x

Question

Решить уравнение 4-(cos^2)3x=3(sin^2)3x+2sin6x

Холод205 22.02.2026 16:04

Ответы и вопросы пользователей

Лебедев Дмитрий Сергеевич · Accepted Answer

Для решения уравнения $4 - \cos^{2} 3 x = 3 \sin^{2} 3 x + 2 \sin 6 x 4 minus cosine squared 3 x equals 3 sine squared 3 x plus 2 sine 6 x$ воспользуемся методами тригонометрических преобразований. 1. Упрощение уравнения Преобразуем исходное уравнение, используя основное тригонометрическое тождество $\cos^{2} α + \sin^{2} α = 1 cosine squared alpha plus sine squared alpha equals 1$ , а также формулу синуса двойного угла $\sin 2 α = 2 \sin α \cos α sine 2 alpha equals 2 sine alpha cosine alpha$ .

Перенесем $- \cos^{2} 3 x negative cosine squared 3 x$ в правую часть:
$4 = 3 \sin^{2} 3 x + \cos^{2} 3 x + 2 \sin 6 x 4 equals 3 sine squared 3 x plus cosine squared 3 x plus 2 sine 6 x$ Разложим $3 \sin^{2} 3 x 3 sine squared 3 x$ как $2 \sin^{2} 3 x + \sin^{2} 3 x 2 sine squared 3 x plus sine squared 3 x$ :
$4 = 2 \sin^{2} 3 x + (\sin^{2} 3 x + \cos^{2} 3 x) + 2 \sin 6 x 4 equals 2 sine squared 3 x plus open paren sine squared 3 x plus cosine squared 3 x close paren plus 2 sine 6 x$ Заменим $(\sin^{2} 3 x + \cos^{2} 3 x) open paren sine squared 3 x plus cosine squared 3 x close paren$ на $11$ :
$4 = 2 \sin^{2} 3 x + 1 + 2 \sin 6 x 4 equals 2 sine squared 3 x plus 1 plus 2 sine 6 x$ Применим формулу синуса двойного угла для $2 \sin 6 x = 2 \sin (2 \cdot 3 x) = 4 \sin 3 x \cos 3 x 2 sine 6 x equals 2 sine open paren 2 center dot 3 x close paren equals 4 sine 3 x cosine 3 x$ :
$4 = 2 \sin^{2} 3 x + 1 + 4 \sin 3 x \cos 3 x 4 equals 2 sine squared 3 x plus 1 plus 4 sine 3 x cosine 3 x$ Перенесем все слагаемые в одну сторону и приведем подобные:
$2 \sin^{2} 3 x + 4 \sin 3 x \cos 3 x - 3 = 0 2 sine squared 3 x plus 4 sine 3 x cosine 3 x minus 3 equals 0$

2. Использование тригонометрической единицы Чтобы решить полученное однородное уравнение, представим число $33$ как $3 (\sin^{2} 3 x + \cos^{2} 3 x) 3 open paren sine squared 3 x plus cosine squared 3 x close paren$ : $2 \sin^{2} 3 x + 4 \sin 3 x \cos 3 x - 3 (\sin^{2} 3 x + \cos^{2} 3 x) = 0 2 sine squared 3 x plus 4 sine 3 x cosine 3 x minus 3 open paren sine squared 3 x plus cosine squared 3 x close paren equals 0$ Раскроем скобки: $2 \sin^{2} 3 x + 4 \sin 3 x \cos 3 x - 3 \sin^{2} 3 x - 3 \cos^{2} 3 x = 0 2 sine squared 3 x plus 4 sine 3 x cosine 3 x minus 3 sine squared 3 x minus 3 cosine squared 3 x equals 0$ $- \sin^{2} 3 x + 4 \sin 3 x \cos 3 x - 3 \cos^{2} 3 x = 0 negative sine squared 3 x plus 4 sine 3 x cosine 3 x minus 3 cosine squared 3 x equals 0$ Умножим на $-1 negative 1$ для удобства: $\sin^{2} 3 x - 4 \sin 3 x \cos 3 x + 3 \cos^{2} 3 x = 0 sine squared 3 x minus 4 sine 3 x cosine 3 x plus 3 cosine squared 3 x equals 0$ 3. Решение однородного уравнения Разделим обе части уравнения на $\cos^{2} 3 x cosine squared 3 x$ (при условии, что $\cos 3 x \neq 0 cosine 3 x is not equal to 0$ , так как если $\cos 3 x = 0 cosine 3 x equals 0$ , то и $\sin 3 x = 0 sine 3 x equals 0$ , что невозможно по основному тождеству): $\frac{\sin^{2} 3 x}{\cos^{2} 3 x} - \frac{4 \sin 3 x \cos 3 x}{\cos^{2} 3 x} + \frac{3 \cos^{2} 3 x}{\cos^{2} 3 x} = 0 sine squared 3 x over cosine squared 3 x end-fraction minus the fraction with numerator 4 sine 3 x cosine 3 x and denominator cosine squared 3 x end-fraction plus the fraction with numerator 3 cosine squared 3 x and denominator cosine squared 3 x end-fraction equals 0$ $\tan^{2} 3 x - 4 \tan 3 x + 3 = 0 tangent squared 3 x minus 4 tangent 3 x plus 3 equals 0$ Введем замену $t = \tan 3 x t equals tangent 3 x$ : $t^{2} - 4 t + 3 = 0 t squared minus 4 t plus 3 equals 0$ По теореме Виета или через дискриминант находим корни:

$t_{1} = 1 t sub 1 equals 1$ $t_{2} = 3 t sub 2 equals 3$

4. Обратная замена и нахождение $x x$ Случай 1: $\tan 3 x = 1 tangent 3 x equals 1$ $3 x = \arctan (1) + π n, n \in Z 3 x equals arc tangent 1 plus pi n comma space n is an element of the integers$ $3 x = \frac{π}{4} + π n 3 x equals the fraction with numerator pi and denominator 4 end-fraction plus pi n$ $x_{1} = \frac{π}{12} + \frac{π n}{3}, n \in Z x sub 1 equals the fraction with numerator pi and denominator 12 end-fraction plus the fraction with numerator pi n and denominator 3 end-fraction comma space n is an element of the integers$ Случай 2: $\tan 3 x = 3 tangent 3 x equals 3$ $3 x = \arctan (3) + π k, k \in Z 3 x equals arc tangent 3 plus pi k comma space k is an element of the integers$ $x_{2} = \frac{1}{3} \arctan (3) + \frac{π k}{3}, k \in Z x sub 2 equals one-third arc tangent 3 plus the fraction with numerator pi k and denominator 3 end-fraction comma space k is an element of the integers$ Ответ: $x = \frac{π}{12} + \frac{π n}{3}; x = \frac{1}{3} \arctan (3) + \frac{π k}{3}; n, k \in Z x equals the fraction with numerator pi and denominator 12 end-fraction plus the fraction with numerator pi n and denominator 3 end-fraction ; space x equals one-third arc tangent 3 plus the fraction with numerator pi k and denominator 3 end-fraction ; space n comma k is an element of the integers$ Хотите, чтобы я проверил корни этого уравнения на определенном числовом промежутке?

Решить уравнение 4-(cos^2)3x=3(sin^2)3x+2sin6x

Форма ответа

Другие вопросы по теме «Математика»

Вопросы из других предметов