Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 4, а угол между боковой гранью и основанием равен 45 градусам. найдите объем пирамиды.

Объем правильной шестиугольной пирамиды равен 48. ️ Шаг 1: Вычисление площади основания Основанием правильной шестиугольной пирамиды является правильный шестиугольник. Площадь правильного шестиугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле: $S_{осн}=\frac{3\sqrt{3}}{2}{a}^2$ Подставим значение стороны $a=4$: $S_{осн}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot 4^2=\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot 16=24\sqrt{3}$ ️ Шаг 2: Нахождение радиуса вписанной окружности основания Угол между боковой гранью и основанием — это двугранный угол, линейный угол которого образован апофемой пирамиды и радиусом $r$ вписанной в основание окружности. Для правильного шестиугольника радиус вписанной окружности равен: $r=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ Подставим $a=4$: $r=\frac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$ ️ Шаг 3: Определение высоты пирамиды Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, радиусом $r$ и апофемой. Угол между $r$ и апофемой по условию равен ${45}^{\circ }$. Тогда высота выражается через тангенс угла: $H=r\cdot \tan \left({45}^{\circ }\right)$Так как $\tan \left({45}^{\circ }\right)=1$, получаем: $H=2\sqrt{3}\cdot 1=2\sqrt{3}$ ️ Шаг 4: Расчет объема пирамиды Объем пирамиды вычисляется по формуле: $V=\frac{1}{3}{S}_{осн}H$ Подставим найденные значения площади основания и высоты: $V=\frac{1}{3}\cdot 24\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{3}=\frac{1}{3}\cdot 48\cdot (\sqrt{3}{)}^2=\frac{1}{3}\cdot 48\cdot 3=48$ Ответ: Объем пирамиды равен 48. Нужно ли вам рассчитать площадь полной поверхности этой пирамиды?