Какие из следующих утверждений верны? 1) квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на синус угла между ними. 2) если катеты прямоугольного треугольника равны 5 и 12, то его гипотенуза равна 13. 3) треугольник abc, у которого ab = 5, bc = 6, ac = 7, является остроугольным. 4) в прямоугольном треугольнике квадрат катета равен разности квадратов гипотенузы и другого катета.

Верными являются утверждения под номерами 2, 3 и 4. Шаг 1: Анализ первого утверждения Первое утверждение гласит, что квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без их удвоенного произведения на синус угла между ними. Согласно теореме косинусов, верная формула выглядит так: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos \alpha$Использование синуса в данной формулировке является ошибкой. Утверждение неверно. Шаг 2: Анализ второго утверждения Для проверки воспользуемся теоремой Пифагора, где сумма квадратов катетов $a$ и $b$ должна быть равна квадрату гипотенузы $c$: $5^2+{12}^2=25+144=169$Так как $\sqrt{169}=13$ , гипотенуза действительно равна 13. Утверждение верно. Шаг 3: Анализ третьего утверждения Чтобы определить вид треугольника со сторонами 5, 6 и 7, сравним квадрат наибольшей стороны с суммой квадратов двух других сторон. Пусть $c=7$, $a=5$, $b=6$: $c^2=7^2=49$ $a^2+b^2=5^2+6^2=25+36=61$Так как $49<61$ ( $c^2<a^2+b^2$), угол, лежащий против большей стороны, является острым. Следовательно, треугольник остроугольный. Утверждение верно. Шаг 4: Анализ четвертого утверждения В прямоугольном треугольнике, согласно теореме Пифагора, выполняется равенство $c^2=a^2+b^2$. Отсюда квадрат любого катета выражается как: $a^2=c^2-b^2$Это в точности соответствует описанию: квадрат катета равен разности квадратов гипотенузы и другого катета. Утверждение верно. Ответ: Верными являются утверждения 2, 3, 4. Хотите разобрать решение подобных задач на теорему синусов или свойства вписанных окружностей?