Около шара с радиусом 4 описан конус с высотой 9,найти радиус основания конуса

Question

Около шара с радиусом 4 описан конус с высотой 9,найти радиус основания конуса

trance_2005 29.01.2026 04:57

Ответы и вопросы пользователей

Смирнов Алексей Владимирович · Accepted Answer

Радиус основания конуса равен $1212$ . ️ Шаг 1: Геометрическая модель Рассмотрим осевое сечение конуса. Оно представляет собой равнобедренный треугольник $A B C cap A cap B cap C$ , в который вписана окружность (сечение шара). Пусть:

$H = 9 cap H equals 9$ — высота конуса ( $S O cap S cap O$ , где $S cap S$ — вершина, $O cap O$ — центр основания); $r = 4 r equals 4$ — радиус вписанного шара; $R cap R$ — радиус основания конуса ( $O A cap O cap A$ ).

Центр вписанного шара (точка $I cap I$ ) лежит на высоте $S O cap S cap O$ . Отрезок $S I = H - r = 9 - 4 = 5 cap S cap I equals cap H minus r equals 9 minus 4 equals 5$ . ️ Шаг 2: Подобие треугольников Пусть $K cap K$ — точка касания шара с образующей $S A cap S cap A$ . Проведем радиус $I K cap I cap K$ в точку касания, тогда $I K ⟂ S A cap I cap K ⟂ cap S cap A$ и $I K = r = 4 cap I cap K equals r equals 4$ . Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $△ S K I triangle cap S cap K cap I$ и $△ S O A triangle cap S cap O cap A$ . Они имеют общий острый угол при вершине $S cap S$ , следовательно, подобны по двум углам. Из подобия треугольников запишем отношение соответствующих сторон: $\frac{I K}{O A} = \frac{S I}{S A} the fraction with numerator cap I cap K and denominator cap O cap A end-fraction equals the fraction with numerator cap S cap I and denominator cap S cap A end-fraction$ ️ Шаг 3: Нахождение образующей Выразим образующую $S A cap S cap A$ через радиус основания $R cap R$ и высоту $H cap H$ по теореме Пифагора из $△ S O A triangle cap S cap O cap A$ : $S A = \sqrt{R^{2} + H^{2}} = \sqrt{R^{2} + 9^{2}} = \sqrt{R^{2} + 81} cap S cap A equals the square root of cap R squared plus cap H squared end-root equals the square root of cap R squared plus 9 squared end-root equals the square root of cap R squared plus 81 end-root$ ️ Шаг 4: Решение уравнения Подставим известные значения в пропорцию: $\frac{4}{R} = \frac{5}{\sqrt{R^{2} + 81}} the fraction with numerator 4 and denominator cap R end-fraction equals the fraction with numerator 5 and denominator the square root of cap R squared plus 81 end-root end-fraction$ Возведем обе части уравнения в квадрат: $\frac{16}{R^{2}} = \frac{25}{R^{2} + 81} the fraction with numerator 16 and denominator cap R squared end-fraction equals the fraction with numerator 25 and denominator cap R squared plus 81 end-fraction$ Перемножим крест-накрест: $16 (R^{2} + 81) = 25 R^{2} 16 open paren cap R squared plus 81 close paren equals 25 cap R squared$ $16 R^{2} + 1296 = 25 R^{2} 16 cap R squared plus 1296 equals 25 cap R squared$ $9 R^{2} = 1296 9 cap R squared equals 1296$ $R^{2} = 144 cap R squared equals 144$ $R = 12 cap R equals 12$ Ответ: Радиус основания конуса равен $1212$ . Требуется ли вам помощь с расчетом объема или площади поверхности данного конуса?

Около шара с радиусом 4 описан конус с высотой 9,найти радиус основания конуса

Форма ответа

Другие вопросы по теме «Геометрия»

Вопросы из других предметов