Тема: изображение комплексных чисел на координатной плоскости известно, что |z1|=|z2|=|z3|=0 и |z1+z2+z3|=0. докажите, что точки z1, z2, z3 образуют равносторонний треугольник.

Для того чтобы доказать, что точки $z_1,z_2,z_3$ образуют правильный (равносторонний) треугольник, необходимо проанализировать условия задачи. Однако в условии содержится техническая ошибка: если $\left|z_1\right|=\left|z_2\right|=\left|z_3\right|=0$, то все три числа равны нулю ( $z_1=z_2=z_3=0$), и они не образуют треугольник, а сливаются в одну точку. Математически корректная постановка данной классической задачи звучит так: Дано: $\left|z_1\right|=\left|z_2\right|=\left|z_3\right|=R$ (где $R>0$) и $z_1+z_2+z_3=0$. Доказать: Точки $z_1,z_2,z_3$ являются вершинами равностороннего треугольника. Геометрическая интерпретация

1. Описанная окружность:
   Условие $\left|z_1\right|=\left|z_2\right|=\left|z_3\right|=R$ означает, что все три точки лежат на окружности с центром в начале координат $(0,0)$ и радиусом $R$. Таким образом, начало координат является центром описанной окружности данного треугольника. Центроид (центр тяжести):
   В комплексных числах точка пересечения медиан треугольника (центроид) вычисляется по формуле:
   $M=\frac{z_1+z_2+z_3}{3}$ Поскольку по условию $z_1+z_2+z_3=0$, то $M=0$. Это значит, что начало координат совпадает с центром тяжести треугольника. Свойство равностороннего треугольника:
   Если в треугольнике центр описанной окружности совпадает с центром тяжести, то такой треугольник является равносторонним.

Алгебраическое доказательство Для доказательства того, что треугольник равносторонний, достаточно показать, что расстояния между точками равны, то есть $|z_1-z_2|=|z_2-z_3|=|z_3-z_1|$. Воспользуемся свойством квадрата модуля: $|a-b{|}^2=(a-b\left)\right(\bar{a}-\bar{b})=|a{|}^2+|b{|}^2-(a\bar{b}+\bar{a}b)$. Так как $\left|z_k\right|=R$, то $z_k{\bar{z}}_k=R^2$, откуда ${\bar{z}}_k=\frac{R^2}{z_k}$ . Из условия $z_1+z_2+z_3=0$ следует: ${\bar{z}}_1+{\bar{z}}_2+{\bar{z}}_3=0⟹\frac{R^2}{z_1}+\frac{R^2}{z_2}+\frac{R^2}{z_3}=0$ Разделив на $R^2$ и приведя к общему знаменателю, получим: $\frac{z_2{z}_3+z_1{z}_3+z_1{z}_2}{z_1{z}_2{z}_3}=0⟹z_1{z}_2+z_2{z}_3+z_3{z}_1=0$ Теперь возведем равенство $z_1+z_2+z_3=0$ в квадрат: $(z_1+z_2+z_3{)}^2=z_1^2+z_2^2+z_3^2+2(z_1{z}_2+z_2{z}_3+z_3{z}_1)=0$Так как сумма попарных произведений равна $0$, получаем: $z_1^2+z_2^2+z_3^2=0$Известно, что критерием равностороннего треугольника на комплексной плоскости является выполнение равенства: $z_1^2+z_2^2+z_3^2-z_1{z}_2-z_2{z}_3-z_3{z}_1=0$Подставляя полученные нами значения ( $0-0=0$), мы подтверждаем, что треугольник равносторонний. Вывод Поскольку центр описанной окружности совпадает с центроидом системы точек, и эти точки лежат на одной окружности, векторы, направленные к вершинам, развернуты друг относительно друга на угол ${120}^{\circ }$ ( $2\pi /3$ радиан). Это гарантирует равенство сторон: $|z_1-z_2|=|z_2-z_3|=|z_3-z_1|=R\sqrt{3}$ Я могу помочь вам с решением аналогичных задач на комплексные числа или разобрать вывод критерия равностороннего треугольника более подробно. Хотите продолжить?