Разложите многочлен на множители 3x^2+2x-5 2x^2+5xy-7y^2 x^2-(5a+1)x+6a^2+a-2 сократить дробь x^2-49/x^2+5x-14 x^2-18x+80/7x-70

Разложение многочленов на множители: $3x^2+2x-5=\mathbf{(}\mathbf{x}\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{(}\mathbf{3}\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{5}\mathbf{)}$, $2x^2+5xy-7y^2=\mathbf{(}\mathbf{x}\mathbf{-}\mathbf{y}\mathbf{)}\mathbf{(}\mathbf{2}\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{7}\mathbf{y}\mathbf{)}$, $x^2-(5a+1)x+6a^2+a-2=\mathbf{(}\mathbf{x}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{a}\mathbf{+}\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{(}\mathbf{x}\mathbf{-}\mathbf{3}\mathbf{a}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{)}$. Сокращенные дроби: $\frac{x^2-49}{x^2+5x-14}=\frac{\mathbf{x}\mathbf{-}\mathbf{7}}{\mathbf{x}\mathbf{-}\mathbf{2}}$ , $\frac{x^2-18x+80}{7x-70}=\frac{\mathbf{x}\mathbf{-}\mathbf{8}}{\mathbf{7}}$ . ️ Шаг 1: Разложение квадратных трехчленов на множители Для разложения выражения вида $a{x}^2+bx+c$ находим корни уравнения $a{x}^2+bx+c=0$ через дискриминант $D=b^2-4ac$. Разложение имеет вид $a(x-x_1)(x-x_2)$.

1. $3x^2+2x-5$:
   $D=2^2-4\cdot 3\cdot \left(-5\right)=4+60=64$
   $x=\frac{-2\pm 8}{6}⟹x_1=1,x_2=-\frac{5}{3}$
   $3(x-1)(x+\frac{5}{3})=(x-1)(3x+5)$ $2x^2+5xy-7y^2$ (рассматриваем как квадратное относительно $x$):
   $D=(5y{)}^2-4\cdot 2\cdot (-7y^2)=25y^2+56y^2=81y^2$
   $x=\frac{-5y\pm 9y}{4}⟹x_1=y,x_2=-3.5y$
   $2(x-y)(x+3.5y)=(x-y)(2x+7y)$

️ Шаг 2: Разложение выражения с параметром Рассмотрим $x^2-(5a+1)x+(6a^2+a-2)$. Сначала разложим свободный член $6a^2+a-2$: $D_a=1^2-4\cdot 6\cdot \left(-2\right)=49$ $a=\frac{-1\pm 7}{12}⟹a_1=\frac{1}{2},a_2=-\frac{2}{3}$ $6a^2+a-2=6(a-\frac{1}{2})(a+\frac{2}{3})=(2a-1)(3a+2)$ Теперь исходное уравнение: $x^2-(5a+1)x+(2a-1)(3a+2)=0$. По теореме Виета: $x_1+x_2=5a+1$ $x_1\cdot x_2=(2a-1)(3a+2)$ Заметим, что $(2a-1)+(3a+2)=5a+1$. Значит, корни: $x_1=2a-1$ и $x_2=3a+2$. Разложение: $(x-(2a-1\left)\right)(x-(3a+2\left)\right)=(x-2a+1)(x-3a-2)$. ️ Шаг 3: Сокращение дробей Для сокращения дробей разложим числитель и знаменатель на множители.

1. $\frac{x^2-49}{x^2+5x-14}$ :
   Числитель: $x^2-7^2=(x-7)(x+7)$
   Знаменатель: $D=25-4\left(-14\right)=81$, корни $x=\frac{-5\pm 9}{2}⟹2,-7$ . Знаменатель: $(x-2)(x+7)$
   $\frac{(x-7)(x+7)}{(x-2)(x+7)}=\frac{x-7}{x-2}$ $\frac{x^2-18x+80}{7x-70}$ :
   Числитель: $D=324-320=4$, корни $x=\frac{18\pm 2}{2}⟹10,8$ . Числитель: $(x-10)(x-8)$
   Знаменатель: $7(x-10)$
   $\frac{(x-10)(x-8)}{7(x-10)}=\frac{x-8}{7}$

Ответ:

1. $(x-1)(3x+5)$ $(x-y)(2x+7y)$ $(x-2a+1)(x-3a-2)$ $\frac{x-7}{x-2}$ $\frac{x-8}{7}$

Требуется ли вам проверка данных выражений путем обратного раскрытия скобок или помощь с аналогичными задачами?