Исследовать функцию с помощью производной и построить ее график: y = x3 -3x2 + 1

Для полного исследования функции $y=x^3-3x^2+1$ и построения ее графика выполним последовательный анализ по основным этапам. 1. Область определения и общие свойства

• Область определения: Функция является многочленом, поэтому она определена на всей числовой прямой: $D\left(y\right)=\mathbb{R}$ или $(-\infty ;+\infty )$. Четность/нечетность:
  $f(-x)=(-x{)}^3-3(-x{)}^2+1=-x^3-3x^2+1$.
  Функция не является ни четной, ни нечетной ( $f(-x)\ne f\left(x\right)$ и $f(-x)\ne -f\left(x\right)$). Точка пересечения с осью $OY$:
  При $x=0$, $y=0^3-3(0{)}^2+1=1$. Точка (0; 1).

2. Исследование с помощью первой производной Найдем производную функции для определения промежутков монотонности и точек экстремума: $y^{\prime }=(x^3-3x^2+1{)}^{\prime }=3x^2-6x$Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $3x^2-6x=0$ $3x(x-2)=0$Отсюда $x_1=0$ и $x_2=2$. Анализ знаков производной:

• На интервале $(-\infty ;0)$: $y^{\prime }>0$ — функция возрастает. На интервале $(0;2)$: $y^{\prime }<0$ — функция убывает. На интервале $(2;+\infty )$: $y^{\prime }>0$ — функция возрастает.

Экстремумы:

• Точка максимума: $x=0$. Значение: $y\left(0\right)=1$. Точка (0; 1). Точка минимума: $x=2$. Значение: $y\left(2\right)=2^3-3(2{)}^2+1=8-12+1=-3$. Точка (2; -3).

3. Исследование с помощью второй производной Найдем вторую производную для определения выпуклости и точек перегиба: $y^{\prime \prime }=(3x^2-6x{)}^{\prime }=6x-6$Приравняем вторую производную к нулю: $6x-6=0⟹x=1$Анализ выпуклости:

• На интервале $(-\infty ;1)$: $y^{\prime \prime }<0$ — график выпуклый вверх (вогнутый). На интервале $(1;+\infty )$: $y^{\prime \prime }>0$ — график выпуклый вниз (выпуклый).

Точка перегиба: При $x=1$, $y\left(1\right)=1^3-3(1{)}^2+1=-1$. Точка (1; -1). 4. Поведение на бесконечности

• $\underset{x+\infty }{\lim }(x^3-3x^2+1)=+\infty$ $\underset{x-\infty }{\lim }(x^3-3x^2+1)=-\infty$

5. Сводная таблица характерных точек

6. Построение графика Для построения графика отметьте ключевые точки:

1. Локальный максимум в (0; 1).
2. Точка перегиба в (1; -1).
3. Локальный минимум в (2; -3).
4. Проведите плавную кривую: из нижней левой четверти вверх к (0,1), затем вниз через точку (1,-1) к минимуму (2,-3), и далее резко вверх в правую верхнюю четверть.

Would you like me to calculate the approximate x-intercepts (roots) of this function?