6^х+(1/6)^х>2 как решить

Для решения неравенства $6^x+(1/6{)}^x>2$ воспользуемся методом введения новой переменной. 1. Преобразование и замена Заметим, что $(1/6{)}^x$ можно представить как $6^{-x}$ или $\frac{1}{6^x}$ . Перепишем неравенство: $6^x+\frac{1}{6^x}>2$ Введем замену: Пусть $6^x=t$, где $t>0$ (так как показательная функция всегда принимает положительные значения). Теперь неравенство принимает вид: $t+\frac{1}{t}>2$ 2. Решение дробно-рационального неравенства Перенесем всё в левую часть и приведем к общему знаменателю: $t+\frac{1}{t}-2>0$ $\frac{t^2-2t+1}{t}>0$ Числитель представляет собой полный квадрат: $\frac{(t-1{)}^2}{t}>0$ 3. Анализ условий У нас есть дробь, которая должна быть строго больше нуля. Мы знаем, что:

1. Знаменатель $t>0$ по условию замены ( $6^x$ всегда положительно). Числитель $(t-1{)}^2$ всегда неотрицателен (любое число в квадрате $\ge 0$).

Следовательно, дробь будет положительной всегда, кроме того случая, когда числитель равен нулю. $(t-1{)}^2=0⟹t=1$Таким образом, решением неравенства относительно $t$ являются все положительные числа, кроме единицы: $t>0$ и $t\ne 1$ 4. Обратная замена Возвращаемся к переменной $x$: $6^x\ne 1$ $6^x\ne 6^0$ $x\ne 0$ Поскольку исходное выражение $6^x+6^{-x}$ определено для любого действительного числа $x$, единственным ограничением является то, что сумма не должна быть равна 2. Сумма взаимно обратных положительных чисел $t+\frac{1}{t}$ всегда $\ge 2$ (согласно неравенству средних), и равенство достигается только при $t=1$. Ответ: $x\in (-\infty ;0)\cup (0;+\infty )$ или просто $x\ne 0$. Могу ли я помочь вам с решением других неравенств или разобрать свойства показательной функции подробнее?