Точка м середина ребра db правильного тетраэдра dabc. найти площадь сечения тетраэдра плоскостью, параллельной рёбрам da и dc и проходящей через точку м, если ребро тетраэдра равно 9

Площадь сечения правильного тетраэдра плоскостью, проходящей через середину ребра $DB$ параллельно рёбрам $DA$ и $DC$, составляет $\frac{81\sqrt{\mathbf{3}}}{16}$ . ️ Шаг 1: Определение вида сечения По условию плоскость проходит через точку $M$ (середину $DB$) параллельно рёбрам $DA$ и $DC$. Если плоскость параллельна прямой, то она пересекает грани, содержащие эту прямую, по линиям, параллельным данной прямой.

1. В грани $ADB$ через точку $M$ проведём прямую $MN\parallel DA$, где $N$ лежит на $AB$. Так как $M$ — середина $DB$, то $MN$ — средняя линия $△ADB$, следовательно, $N$ — середина $AB$. В грани $CDB$ через точку $M$ проведём прямую $MK\parallel DC$, где $K$ лежит на $BC$. Аналогично, $MK$ — средняя линия $△CDB$, и $K$ — середина $BC$. Соединим точки $N$ и $K$. Отрезок $NK$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$ в $△ABC$, значит, $NK\parallel AC$.
   Таким образом, искомое сечение — это треугольник $MNK$.

️ Шаг 2: Расчёт площади сечения Поскольку все рёбра правильного тетраэдра равны $a=9$, грани представляют собой правильные треугольники. Треугольник $MNK$ подобен грани $ADC$ с коэффициентом подобия $k=\frac{1}{2}$ , так как его стороны являются средними линиями соответствующих граней: $MN=\frac{1}{2}DA=4.5$ $MK=\frac{1}{2}DC=4.5$ $NK=\frac{1}{2}AC=4.5$ Следовательно, $MNK$ — равносторонний треугольник со стороной $b=4.5$. Площадь правильного треугольника вычисляется по формуле: $S=\frac{b^2\sqrt{3}}{4}$ Подставим значение $b=\frac{9}{2}$ : $S_{MNK}=\frac{(\frac{9}{2}{)}^2\sqrt{3}}{4}=\frac{\frac{81}{4}\sqrt{3}}{4}=\frac{81\sqrt{3}}{16}$ Ответ: Площадь сечения равна $\frac{81\sqrt{\mathbf{3}}}{16}$ . Хотите ли вы рассчитать объёмы двух многогранников, на которые эта плоскость делит исходный тетраэдр?