Упростить выражение по разности косинусов 1.cos(п/4-b)-cos(п/4+b) 2. cos^2(a-п/4)- cos^2(a+п/4)

Для упрощения данных выражений воспользуемся тригонометрическими формулами разности косинусов и разности квадратов. 1. Упрощение выражения $\cos (\frac{\pi }{4}-\beta )-\cos (\frac{\pi }{4}+\beta )$ Используем формулу разности косинусов: $\cos x-\cos y=-2\sin \left(\frac{x+y}{2}\right)\sin \left(\frac{x-y}{2}\right)$ Пусть $x=\frac{\pi }{4}-\beta$ и $y=\frac{\pi }{4}+\beta$ .

• Найдем полусумму аргументов:
  $\frac{x+y}{2}=\frac{(\frac{\pi }{4}-\beta )+(\frac{\pi }{4}+\beta )}{2}=\frac{\frac{2\pi }{4}}{2}=\frac{\pi }{4}$ Найдем полуразность аргументов:
  $\frac{x-y}{2}=\frac{(\frac{\pi }{4}-\beta )-(\frac{\pi }{4}+\beta )}{2}=\frac{-2\beta }{2}=-\beta$

Подставляем в формулу: $\cos (\frac{\pi }{4}-\beta )-\cos (\frac{\pi }{4}+\beta )=-2\sin \left(\frac{\pi }{4}\right)\sin (-\beta )$ Так как $\sin (-\beta )=-\sin \beta$ и $\sin \left(\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$ : $-2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot (-\sin \beta )=\sqrt{2}\sin \beta$ Ответ: $\sqrt{2}\sin \beta$ 2. Упрощение выражения ${\cos }^2(\alpha -\frac{\pi }{4})-{\cos }^2(\alpha +\frac{\pi }{4})$ Используем формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$: $\left(\cos \right(\alpha -\frac{\pi }{4})-\cos (\alpha +\frac{\pi }{4}\left)\right)\cdot \left(\cos \right(\alpha -\frac{\pi }{4})+\cos (\alpha +\frac{\pi }{4}\left)\right)$ Разберем каждую скобку по отдельности:

1. Первая скобка (разность косинусов):
   По аналогии с первым примером (где $\beta =\alpha$):
   $\cos (\alpha -\frac{\pi }{4})-\cos (\alpha +\frac{\pi }{4})=\sqrt{2}\sin \alpha$ Вторая скобка (сумма косинусов):
   Используем формулу $\cos x+\cos y=2\cos \left(\frac{x+y}{2}\right)\cos \left(\frac{x-y}{2}\right)$ :
   $\cos (\alpha -\frac{\pi }{4})+\cos (\alpha +\frac{\pi }{4})=2\cos \alpha \cdot \cos (-\frac{\pi }{4})=2\cos \alpha \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}\cos \alpha$

Перемножаем результаты: $\left(\sqrt{2}\sin \alpha \right)\cdot \left(\sqrt{2}\cos \alpha \right)=2\sin \alpha \cos \alpha$ По формуле синуса двойного угла ( $2\sin \alpha \cos \alpha =\sin 2\alpha$): $2\sin \alpha \cos \alpha =\sin 2\alpha$Ответ: $\sin 2\alpha$ Хотите, чтобы я разобрал аналогичные примеры с синусами или тангенсами?