√x^2+3x+12-√x^2+3x=2

Для решения уравнения $\sqrt{x^2+3x+12}-\sqrt{x^2+3x}=2$ воспользуемся методом введения новой переменной, так как подкоренные выражения содержат одинаковую часть $x^2+3x$. 1. Введение переменной Пусть $t=x^2+3x$. Тогда уравнение принимает вид: $\sqrt{t+12}-\sqrt{t}=2$ 2. Решение уравнения относительно $t$ Перенесем $-\sqrt{t}$ в правую часть: $\sqrt{t+12}=2+\sqrt{t}$ Возведем обе части уравнения в квадрат: $(\sqrt{t+12}{)}^2=(2+\sqrt{t}{)}^2$ $t+12=4+4\sqrt{t}+t$ Вычтем $t$ из обеих частей и приведем подобные слагаемые: $12=4+4\sqrt{t}$ $8=4\sqrt{t}$ $\sqrt{t}=2$ Возведем в квадрат еще раз: $t=4$3. Обратная подстановка Теперь вернемся к исходной переменной $x$, подставив найденное значение $t$: $x^2+3x=4$ $x^2+3x-4=0$4. Решение квадратного уравнения Решим полученное уравнение через дискриминант или по теореме Виета:

• Сумма корней: $x_1+x_2=-3$ Произведение корней: $x_1\cdot x_2=-4$

Корнями являются: $x_1=1$ $x_2=-4$ 5. Проверка области допустимых значений (ОДЗ) Для исходного уравнения должны выполняться условия:

1. $x^2+3x\ge 0$ $x^2+3x+12\ge 0$

При $t=4$ (что соответствует нашим корням), подкоренные выражения равны:

• $\sqrt{4+12}=\sqrt{16}=4$ $\sqrt{4}=2$
  Оба значения положительны, условия выполняются. Подставим в исходное уравнение: $4-2=2$. Равенство верно.

Ответ: $x_1=1,x_2=-4$ Я могу составить для вас аналогичную задачу для закрепления материала или разобрать решение через сопряженные выражения. Желаете продолжить?