Y=-x^2+1/x найти точку минимума

Для нахождения точки минимума функции $y=-x^2+\frac{1}{x}$ воспользуемся методами дифференциального исчисления. 1. Нахождение производной функции Сначала найдем первую производную функции по переменной $x$: $y^{\prime }=\frac{d}{dx}(-x^2+x^{-1})$ $y^{\prime }=-2x-\frac{1}{x^2}$ 2. Определение критических точек Чтобы найти экстремумы, приравняем производную к нулю: $-2x-\frac{1}{x^2}=0$ Перенесем слагаемые и решим уравнение: $-2x=\frac{1}{x^2}$ $-2x^3=1$ $x^3=-\frac{1}{2}$ $x=\sqrt[3]{-\frac{1}{2}}=-\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ Приблизительное значение: $x\approx -0.7937$. 3. Исследование характера точки (вторая производная) Чтобы убедиться, что найденная точка является именно точкой минимума, найдем вторую производную: $y^{\prime \prime }=\frac{d}{dx}(-2x-x^{-2})$ $y^{\prime \prime }=-2+\frac{2}{x^3}$ Подставим значение $x^3=-\frac{1}{2}$ в выражение для второй производной: $y^{\prime \prime }=-2+\frac{2}{-1/2}$ $y^{\prime \prime }=-2-4=-6$4. Анализ результата Согласно правилам исследования функции:

• Если $y^{\prime \prime }>0$ в критической точке, это точка минимума. Если $y^{\prime \prime }<0$ в критической точке, это точка максимума.

В данном случае $y^{\prime \prime }=-6$, что меньше нуля. Следовательно, точка $x=-\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ является точкой локального максимума, а не минимума. Заключение Исследование функции показывает, что на всей области определения ( $x\ne 0$):

• При $x<0$ функция имеет только точку максимума. При $x>0$ производная $y^{\prime }=-2x-\frac{1}{x^2}$ всегда отрицательна, следовательно, функция монотонно убывает.

У данной функции точек минимума не существует. Я могу построить график этой функции, чтобы вы могли наглядно увидеть её поведение и отсутствие локальных минимумов. Хотите, чтобы я это сделал?