Cos^2x-sin^2x меньше или равно 1/2

Для решения тригонометрического неравенства ${\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x\le \frac{1}{2}$ воспользуемся тригонометрическими формулами и стандартным алгоритмом решения. 1. Упрощение выражения Левая часть неравенства представляет собой формулу косинуса двойного угла: $\cos \left(2x\right)={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x$Таким образом, исходное неравенство принимает вид: $\cos \left(2x\right)\le \frac{1}{2}$ 2. Решение простейшего неравенства Рассмотрим единичную окружность для переменной $t=2x$. Нам нужно найти такие значения $t$, при которых абсцисса (координата $x$ на окружности) меньше или равна $\frac{1}{2}$ .

1. Находим точки на окружности, где $\cos t=\frac{1}{2}$ :
   $t=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k,\text{где}k\in \mathbb{Z}$ Косинус меньше или равен $\frac{1}{2}$ на дуге, расположенной левее этих точек. Учитывая обход против часовой стрелки, интервал для одного периода будет:
   $\frac{\pi }{3}+2\pi k\le t\le \frac{5\pi }{3}+2\pi k$ (Или, что эквивалентно: $\frac{\pi }{3}+2\pi k\le t\le 2\pi -\frac{\pi }{3}+2\pi k$ )

3. Возврат к переменной $x$ Заменим $t$ обратно на $2x$: $\frac{\pi }{3}+2\pi k\le 2x\le \frac{5\pi }{3}+2\pi k$ Теперь разделим все части неравенства на $2$, чтобы изолировать $x$: $\frac{\pi }{6}+\pi k\le x\le \frac{5\pi }{6}+\pi k$ Ответ Решением неравенства является множество интервалов: $x\in [\frac{\pi }{6}+\pi k;\frac{5\pi }{6}+\pi k],k\in \mathbb{Z}$ Я могу помочь вам с решением других тригонометрических уравнений или систем неравенств. Хотите разобрать еще один пример?