2sin^2(в квадрате)x + sinx -1=0

Для решения уравнения $2{\sin }^{2}x+\sin x-1=0$ воспользуемся методом введения новой переменной. 1. Введение замены Пусть $\sin x=t$. Поскольку значения синуса всегда лежат в пределах от $-1$ до $1$, накладываем ограничение: $\left|t\right|\le 1$. После замены уравнение принимает вид квадратного: $2t^2+t-1=0$2. Решение квадратного уравнения Найдем дискриминант по формуле $D=b^2-4ac$:

• $a=2,b=1,c=-1$ $D=1^2-4\cdot 2\cdot \left(-1\right)=1+8=9$

Находим корни $t$: $t=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$

• $t_1=\frac{-1+3}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$ $t_2=\frac{-1-3}{4}=\frac{-4}{4}=-1$

Оба значения удовлетворяют условию $\left|t\right|\le 1$. 3. Обратная замена Теперь решим два простейших тригонометрических уравнения. Случай 1: $\sin x=\frac{1}{2}$ Используем общую формулу для синуса или частные значения на окружности:

• $x=(-1{)}^n\arcsin \left(\frac{1}{2}\right)+\pi n$ $x=(-1{)}^n\frac{\pi }{6}+\pi n$ , где $n\in \mathbb{Z}$

Или, если записывать в виде двух серий решений:

• $x_1=\frac{\pi }{6}+2\pi n$ $x_2=\frac{5\pi }{6}+2\pi n$

Случай 2: $\sin x=-1$ Это частный случай (нижняя точка единичной окружности):

• $x=-\frac{\pi }{2}+2\pi k$ , где $k\in \mathbb{Z}$

Ответ: $x=(-1{)}^n\frac{\pi }{6}+\pi n;x=-\frac{\pi }{2}+2\pi k,n,k\in \mathbb{Z}$ Я могу выполнить отбор корней на заданном промежутке, если это необходимо.