Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении на единичный отрезок за прыжок. сколько существует различных точек на координатной прямой,в которых кузнечик может оказаться, сделав ровно 8 прыжков, начиная прыгать из начала координат.

Чтобы определить количество возможных точек, в которых может оказаться кузнечик, проанализируем характер его перемещений по координатной прямой. Анализ четности Пусть кузнечик начинает движение из точки $0$. Каждый прыжок изменяет координату на $\mathrm{+1}$ или $-1$. Это означает, что после каждого шага четность координаты меняется:

• После 1-го прыжка координата будет нечетной ( $\pm 1$). После 2-го прыжка — четной ( $0,\pm 2$). После 3-го прыжка — снова нечетной ( $\pm 1,\pm 3$).

Следовательно, после 8 прыжков (четное число) кузнечик обязательно окажется в точке с четной координатой. Определение диапазона Максимальное и минимальное удаление от начала координат достигается, если кузнечик все 8 раз прыгнет в одном направлении:

• Максимальная точка: $\mathrm{+8}$ (все прыжки вправо). Минимальная точка: $-8$ (все прыжки влево).

Поскольку каждый прыжок меняет координату всего на 1 единицу, кузнечик не может «перепрыгнуть» через четное число в указанном диапазоне. Он может попасть в любую четную точку между $-8$ и $8$. Подсчет точек Выпишем все четные числа в интервале от $-8$ до $8$ включительно: $-8,-6,-4,-2,0,2,4,6,8$Посчитаем количество этих значений:

1. Отрицательные четные: $-8,-6,-4,-2$ (4 точки) Ноль: $0$ (1 точка) Положительные четные: $2,4,6,8$ (4 точки)

Итого: $4+1+4=9$ точек.

Математическая проверка:
Количество целых чисел в арифметической прогрессии можно найти по формуле:
$n=\frac{a_n-a_1}{d}+1$ Где $a_n=8$, $a_1=-8$, а разность $d=2$ (так как нас интересуют только четные числа).
$n=\frac{8-\left(-8\right)}{2}+1=\frac{16}{2}+1=8+1=9$

Ответ: Существует 9 различных точек. Я могу составить для вас аналогичную задачу с дополнительными условиями (например, если кузнечик прыгает на разные расстояния) или помочь с решением других задач по комбинаторике. Хотите продолжить?