При каких значениях параметра a уравнение 9^x+3^x+a^2-14a=0 имеет единственный корень

Для решения уравнения $9^x+3^x+a^2-14a=0$ воспользуемся методом введения новой переменной и анализом квадратного уравнения. 1. Введение новой переменной Пусть $t=3^x$. Учитывая свойства показательной функции, на переменную накладывается строгое ограничение: $t>0$. Уравнение принимает вид квадратного относительно $t$: $t^2+t+(a^2-14a)=0$Исходное уравнение имеет единственный корень $x$ тогда и только тогда, когда полученное квадратное уравнение имеет ровно один положительный корень $t$. 2. Анализ условий для единственного положительного корня Квадратное уравнение вида $t^2+bt+c=0$ имеет ровно один корень на интервале $(0;+\infty )$ в двух случаях: Случай А: Дискриминант равен нулю ( $D=0$) Корень должен быть единственным и при этом положительным.

1. Находим дискриминант:
   $D=1^2-4\cdot 1\cdot (a^2-14a)=1-4a^2+56a$ Условие $D=0$:
   $-4a^2+56a+1=04a^2-56a-1=0$ Решаем через дискриминант для $a$:
   $D_a={56}^2-4\cdot 4\cdot \left(-1\right)=3136+16=3152$ $a=\frac{56\pm \sqrt{3152}}{8}=\frac{56\pm 4\sqrt{197}}{8}=7\pm \frac{\sqrt{197}}{2}$ Проверяем значение корня $t$:
   При $D=0$ корень $t=-\frac{b}{2a_{coeff}}=-\frac{1}{2}$ .
   Так как $-\frac{1}{2}<0$ , этот случай не подходит, так как нам нужно $t>0$.

Случай Б: Корни имеют разные знаки (один положительный, другой отрицательный или ноль) Это происходит, когда свободный член уравнения меньше или равен нулю ( $c\le 0$). Если $c<0$, то корни разных знаков. Если $c=0$, один корень равен $0$, а второй равен $-1$ (в данном уравнении $t^2+t=0t(t+1)=0$), что нам не подходит. Следовательно, единственный положительный корень будет тогда и только тогда, когда произведение корней по теореме Виета меньше нуля: $t_1\cdot t_2=a^2-14a<0$3. Решение неравенства Решим неравенство $a^2-14a<0$:

1. Разложим на множители: $a(a-14)<0$. Определим нули функции: $a=0$ и $a=14$. Методом интервалов находим промежуток, где выражение отрицательно:
   $a\in (0;14)$

Резюме При $a\in (0;14)$ квадратное уравнение имеет два корня разных знаков. Положительный корень $t$ даст ровно одно значение $x$, а отрицательный корень не даст решений для $x$, так как $3^x>0$. Ответ: $a\in (0;14)$ Я могу также помочь с графической интерпретацией этого решения или разобрать аналогичное задание с другими условиями. Хотите рассмотреть случай, когда уравнение имеет два корня?