3 в степени 1+log3 tgx=корень из 3 решить уравнение

Решением уравнения является $x=\frac{\pi }{6}+\pi n$ , где $n\in \mathbb{Z}$. ️ Шаг 1: Определение области допустимых значений Для данного уравнения необходимо учитывать ограничения, накладываемые логарифмической функцией и тангенсом. Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: $\tan x>0$. Также, исходя из определения тангенса, $x\ne \frac{\pi }{2}+\pi k$ . Условие $\tan x>0$ выполняется в первой и третьей четвертях тригонометрического круга. ️ Шаг 2: Упрощение левой части уравнения Используем свойства степеней и основное логарифмическое тождество, согласно которому $a^{{\log }_{a}b}=b$. Левую часть уравнения можно преобразовать следующим образом: $3^{1+{\log }_3\left(\tan x\right)}=3^1\cdot 3^{{\log }_3\left(\tan x\right)}=3\tan x$. Теперь подставим это выражение в исходное уравнение: $3\tan x=\sqrt{3}$ . ️ Шаг 3: Решение простейшего тригонометрического уравнения Разделим обе части уравнения на $3$, чтобы изолировать тангенс: $\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}$ . Это табличное значение. Известно, что $\tan \alpha =\frac{\sqrt{3}}{3}$ при $\alpha =\frac{\pi }{6}$ . Общее решение для тангенса записывается в виде: $x=\frac{\pi }{6}+\pi n,n\in \mathbb{Z}$ . ️ Шаг 4: Проверка условия ОДЗ Проверим найденное решение на соответствие условию $\tan x>0$. Подставив $x$ в тангенс, получим: $\tan (\frac{\pi }{6}+\pi n)=\tan \left(\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}$ . Так как $\frac{\sqrt{3}}{3}>0$ , условие выполняется для всех целых $n$. Ответ: x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z} Хотите ли вы разобрать другие логарифмические уравнения или перейти к изучению тригонометрических формул?