Для решения уравнения 4cos(2x) – 8cos(x) – 1 = 0 воспользуемся тригонометрическими формулами и методом замены переменной. 1. Преобразование уравнения Используем формулу косинуса двойного угла: cos(2x) = 2cos²(x) – 1 Подставим это выражение в исходное уравнение: 4(2cos²(x) – 1) – 8cos(x) – 1 = 0 Раскроем скобки: 8cos²(x) – 4 – 8cos(x) – 1 = 0 8cos²(x) – 8cos(x) – 5 = 0 2. Замена переменной Пусть t = cos(x), где |t| ≤ 1 (так как значения косинуса всегда лежат в пределах от -1 до 1). Получаем квадратное уравнение: 8t² – 8t – 5 = 0 3. Решение квадратного уравнения Найдем дискриминант по формуле D = b² – 4ac: D = (–8)² – 4 · 8 · (–5) = 64 + 160 = 224 Находим корни t: t = (–b ± √D) / 2a t = (8 ± √224) / 16 Упростим корень: √224 = √(16 · 14) = 4√14. t = (8 ± 4√14) / 16 t = (2 ± √14) / 4 4. Проверка условия |t| ≤ 1 Вычислим приблизительные значения корней (√14 ≈ 3,74):
- t₁ = (2 + √14) / 4 ≈ (2 + 3,74) / 4 = 5,74 / 4 ≈ 1,435.
Этот корень не подходит, так как 1,435 > 1. - t₂ = (2 – √14) / 4 ≈ (2 – 3,74) / 4 = –1,74 / 4 ≈ –0,435.
Этот корень подходит, так как |–0,435| ≤ 1.
5. Обратная замена Решаем уравнение: cos(x) = (2 – √14) / 4 Общее решение для косинуса записывается как x = ±arccos(a) + 2πn: x = ±arccos((2 – √14) / 4) + 2πn, n ∈ Z Ответ: x = ±arccos((2 – √14) / 4) + 2πn, n ∈ Z. Нужно ли вам выполнить отбор корней на конкретном числовом промежутке?
Форма ответа
Ответы и вопросы пользователей