Найдите производную функции и найдите ее значение в соответствующей точке y= (sin 4x - 2)^ 4 , где x= pi/4

Для нахождения значения производной функции в заданной точке выполним пошаговые вычисления. 1. Нахождение производной функции Данная функция $y=(\sin 4x-2{)}^4$ является сложной. Для её дифференцирования воспользуемся правилом $u^n$ и правилом производной сложной функции (цепным правилом):

1. Внешняя функция: $u^4$, её производная $4u^3$. Внутренняя функция: $u=\sin 4x-2$. Производная внутренней функции: $(\sin 4x-2{)}^{\prime }=\cos (4x)\cdot 4-0=4\cos 4x$.

Собираем всё вместе: $y^{\prime }=4\cdot (\sin 4x-2{)}^3\cdot (\sin 4x-2{)}^{\prime }$ $y^{\prime }=4\cdot (\sin 4x-2{)}^3\cdot 4\cos 4x$ $y^{\prime }=16\cos 4x\cdot (\sin 4x-2{)}^3$2. Вычисление значения производной в точке $x=\frac{\pi }{4}$ Подставим значение $x=\frac{\pi }{4}$ в полученное выражение для производной:

1. Вычислим аргумент тригонометрических функций:
   $4x=4\cdot \frac{\pi }{4}=\pi$ Найдем значения синуса и косинуса в этой точке:
   • $\cos \pi =-1$ $\sin \pi =0$
   Подставим значения в формулу производной:
   $y^{\prime }\left(\frac{\pi }{4}\right)=16\cdot \cos \left(\pi \right)\cdot \left(\sin \right(\pi )-2{)}^3$ $y^{\prime }\left(\frac{\pi }{4}\right)=16\cdot \left(-1\right)\cdot (0-2{)}^3$ $y^{\prime }\left(\frac{\pi }{4}\right)=-16\cdot (-2{)}^3$ $y^{\prime }\left(\frac{\pi }{4}\right)=-16\cdot \left(-8\right)$ $y^{\prime }\left(\frac{\pi }{4}\right)=128$

Ответ: Производная функции равна $y^{\prime }=16\cos 4x(\sin 4x-2{)}^3$; её значение в точке $x=\frac{\pi }{4}$ составляет 128. Я могу также составить для вас таблицу значений этой производной для других характерных точек или исследовать функцию на экстремумы. Хотите продолжить анализ?