Дана функция: f(x)= x^3-3x^2+4найдите точку максимума функции

Точка максимума функции $f\left(x\right)=x^3-3x^2+4$ находится в значении $x=0$. Шаг 1: Нахождение производной функции Для исследования функции на экстремумы необходимо найти её первую производную. Используя правила дифференцирования степенной функции, получаем: $f^{\prime }\left(x\right)=(x^3-3x^2+4{)}^{\prime }=3x^2-6x$Шаг 2: Нахождение критических точек Критические точки — это значения $x$, при которых производная равна нулю или не существует. Приравняем производную к нулю: $3x^2-6x=0$Вынесем общий множитель за скобки: $3x(x-2)=0$Отсюда получаем два корня: $x_1=0,x_2=2$Шаг 3: Определение характера критических точек Для определения того, какая из точек является максимумом, воспользуемся второй производной функции: $f^{\prime \prime }\left(x\right)=(3x^2-6x{)}^{\prime }=6x-6$ Подставим значения критических точек во вторую производную:

1. При $x=0$: $f^{\prime \prime }\left(0\right)=6\left(0\right)-6=-6$. Так как $f^{\prime \prime }\left(0\right)<0$, то $x=0$ — точка локального максимума. При $x=2$: $f^{\prime \prime }\left(2\right)=6\left(2\right)-6=6$. Так как $f^{\prime \prime }\left(2\right)>0$, то $x=2$ — точка локального минимума.

Ответ: Точка максимума функции равна x = 0. Требуется ли вам найти значение функции в этой точке или определить промежутки возрастания и убывания?